6.魔方与数学

一块小小的魔方，它是童年不解的奥秘，它蕴含着思想者的沉思、数学家的逻辑、物理学家的结构，有着宇宙无穷的奇妙，虽只是规则的方块，却包罗万象。因此，魔方与数学有着千丝万缕的联系。

近代数学中有个重要的算法，用maple软件包计算48次对称群，S48的一个子群是一个魔方群。魔方是一个由27个小方块组合成的正方体，每个面都可以转动。我们都在玩的魔方中蕴涵着很多的思想。利用对称群理论，人们能够事先预测晶体的种类，当然，群论还会出现在意想不到的地方，比如玩魔方。

众所周知，有很多玩魔方的高手在几秒钟就可以把魔方转好。当问及原因之时，他们都说“快的原因并非是偶然因素造成的，每一个步骤都是经过计算的。”而这个计算方法之一就是关于数学里的对称和群的讨论。

对称是一种普遍存在于自然界和人类社会科学和艺术领域的一种十分普遍的现象。因此它在物理学、化学、生命科学中得到广泛的研究和应用。同样的在数量关系空间形式的对称现象也大量存在。群又是现代数学最为重要的概念之一。它的出现是以结构代替了计算，把偏重计算研究思维方式转变为结构观念研究的一种方式。群可以彻底解决代数方程的可解性问题。群对数学的其他分支，如对数学分析，几何学的发展的产成了巨大的影响。

对于魔方来说，它的六面颜色的转动，根据计算能够组成8×37×12×210＝43，252，003，274，489，856，000≈4×1019种不同的颜色组合图案！大约为4000亿亿种。一个小小的魔方，它的变化却是千变万化的，结果也绝对令人匪夷所思。我们来看一下魔方的计算方法，为了便于理解，我们先定义魔方各个方块的名称：

角方块：8个顶角上的方块，每个方块只看到3个面，有3种不同的颜色。棱方块：两个角方块之间的方块，整个魔方有12条棱故共有12个棱方块，每个方块只看到2个面，有2两种颜色；中心块：每个面中央的方块，它只露出一面。

我们再分析一下上面的计算：81（8个角方块可能有8个位置）×37（8个角方块各有3种不同的颜色朝向，注意不是38，因为决定了7个角方块方向后，第8个角方块的方向也就固定）×121（12个梭方块各有12个可能的位置，但11个梭方块也决定第12块的位置，故应为121×1／2）×210（12个梭方块各有2个不同颜色朝向，同样11个梭方块的方向也决定了第12个梭方块的方向，故为211）。

那么，这样算来，魔方究竟有多少种可以达到的状态呢？答案是43252003274489856000大约4000亿亿。这样计算的方法是：8个角方块排列在8个位置，12个棱方块排列在12个位置，共有81×121种。又每个棱方块有2个朝向，每个角方块有3个朝向，共3＾8×2＾12种。因此魔方的状态数是81×121×3＾8×2＾12＝519024039293878272000种，51902亿亿以上。

但是，在20个方块当中，又会有18个位置是确定的，另外2个位置也就被确定下来了。所以说，又要去掉因子21。在8个角方块中，7个朝向确定，第8个朝向也就确定了；在12个棱方块中，11个朝向确定，第12个朝向也就确定了。这样要再去掉3×2因子，实际是上面数的1／12，即总数81×121×3＾7×2＾11／2＝43252003274489856000。

当然了，我们还可以从另外一个角度考虑上面的除数12，假如说我们确定了6种颜色，每种颜色涂在魔方的1个表面上的9个小方块上。然后我们拆开魔方，打乱了重新拼装起来，那么并不是所得到的每个魔方都能复原为初始状态。具体说，有519024039293878272000种拼法，可以分为12类，每类43252003274489856000种。同类里任何两个状态可以相互转换，而不同种类间不能转换。 1pOFcaczc2HaBxcmjeO6Q32u2MVEY/ceCLNOMmPGbHVJtGlhGtOsweD5Rc9vI1y1