运动之谜

如果我们处理的都是直线运动，就远远无法理解在自然界中观察到的许多运动。我们必须考虑曲线运动，而下一个步骤就是确定支配这样的运动的定律。要做到这一点可不容易。现已证明，在直线运动情况下，我们的速度、速度变化和力的概念都是很有用的。但我们无法一眼看出，应该怎样才能把它们应用于曲线运动。我们确实可以想象，过去的概念不适用于描述普遍情况下的运动，因此必须创造新的概念。我们应该按照过去的方法加以尝试还是应该寻找新的方法？

推广一个概念，这是在科学中经常出现的过程。无法确定推广的方法，因为通常是多种方法共同进行的。然而，有一个要求必须得到严格的满足：在满足原有条件的情况下，任何推广的概念都必须能简化为原有的概念。

通过我们正在处理的一些例子，我们可以对此做出极好的解释。我们可以尝试将速度、速度的变化和力的原有概念扩展应用于曲线运动。严格地说，当我们说到曲线时，直线也包括在内。直线是曲线的特例，是它很小的一部分。因此，如果我们把速度、速度的变化和力的概念引入曲线运动，它们便自动地包括了直线运动的情况，但这一结果绝不可以与我们前面已经得到的结果相矛盾。如果曲线变成直线，所有经过推广的概念都必须简化，成为我们熟悉的描述直线运动的原有概念。但这一限定条件还不足以唯一确定推广的过程，我们不能排除许多其他可能的方法。科学的历史证明，最简单的推广有时能够成功，有时不能。首先，我们必须做出猜测。在我们现在的情况下，猜测正确的推广方法比较简单。事实证明，新概念非常成功，我们借以理解了抛出去的石头的运动，同时也理解了行星的运动。

而现在，在曲线运动这种普遍情况下，速度、速度的变化和力这几个词意味着什么呢？让我们从速度开始。一个极小的物体沿曲线从左向右运动，我们通常称这样的小物体为质点。在图8中，曲线上的黑点告诉我们这一质点在某一时刻的位置。这个时刻和位置对应的速度如何？伽利略的线索又一次以某种方式暗示了应该如何引进速度。我们必须再次发挥想象力，考虑一个理想化的实验。在外力的作用下，这个质点从左向右沿曲线运动。让我们想象，在某一给定时刻，在图9中黑点确定的位置上，所有外力突然停止了作用。根据惯性定律，这时候的运动必定是匀速的。当然，我们永远无法真的让一个物体完全不受外力作用，只能推测在这种情况下会发生的事件，并比较我们从中得出的结论与实验结果的吻合程度，从而判断我们的推测是否恰当。

在所有外力全部消失的情况下，图10中的矢量表示我们猜测的质点匀速运动的方向，这就是所谓的切线方向。如果在显微镜下观察一个运动质点，我们可以看到这个曲线很小的一部分，看上去像一条很短的线段，这条切线就是它的延长线。就这样，我们画出的矢量就代表质点在给定时刻的速度。速度矢量在切线上，它的长度代表速度的数值，或者说，就像我们在一辆汽车的速率表上看到的数值。

为了找出速度矢量，我们的理想化实验试图打断质点的运动，对这种实验不必过于认真，它只不过是在帮助我们，让我们知道应该如何得出速度矢量，并让我们能在给定时刻的给定点上确定这一矢量。

图10给出了曲线运动中的质点在三个不同位置上的速度矢量。在这种情况下，运动中的质点不但方向有所改变，就连数值也不尽相同，这一点可以从矢量的长度变化上看出。

这一速度的新概念是否满足所有推广都必须满足的要求？也就是说，如果曲线变成了直线，它能否回归到我们熟悉的概念上？显然是可以的。直线的切线就是它本身。速度矢量就在运动线上，这和运动中的手推车或者滚动中的小球的情况完全相同。

下一步是引入曲线运动中质点的速度变化。这也可以通过不同的方法进行，我们在这些方法中选择最简单也最方便的一种。图10显示了曲线路径上各个不同点上代表运动的几个速度矢量。我们可以把其中的矢量1和矢量2重新画在图11中，让它们有共同的起点，我们看到，这在矢量中是可以的。我们称图中以虚线表示的矢量为速度变化矢量，它的起点是矢量1的终点，终点是矢量2的终点。乍一看，速度变化矢量的这个定义似乎很牵强，而且毫无意义，但在矢量1和矢量2方向相同的特例中，这种定义变得清楚多了。当然，这就意味着回到直线运动的情况中。如果两个矢量有同样的起点，则虚线表示的矢量同样连接它们的终点。图12与图6完全相同，而且我们也得到了原来的概念，它是新概念的特例。可以说，在图12中我们不得不将两条线分开，否则它们将重合在一起，无法分辨。

现在是我们推广过程的最后一步，但这也是我们迄今必须做出的猜测中最重要的一环。我们必须建立力和速度变化之间的联系，这样我们就能够形成一个线索，让我们理解运动的一般问题。

解释直线运动的线索很简单：速度的变化是外力造成的，代表力的矢量与速度变化矢量的方向相同。但现在，什么是曲线运动中的线索呢？完全是同一个！仅有的差别是，速度变化的现有意义比以前扩大了。再看一下图11和图12中虚线表示的矢量，我们就可以清楚地看出这一点。如果曲线上各点的速度都是已知的，我们就可以立刻推导出任何一点上的力的方向。可以说，时间间隔很小的两个时刻对应着曲线上非常接近的两个点。只要画出这两点上的速度矢量，从第一个矢量的终点到第二个矢量的终点的矢量方向就是作用力的方向。但至关重要的一点是，分开两个速度矢量的时间间隔必须“非常小”。对于“非常接近”“非常小”这类词语的严格分析实在不简单。确实，就是这个分析，让牛顿和莱布尼茨 发明了微积分。

经过漫长而又复杂的过程，伽利略的线索最终得到了推广。事实证明，这一推广结出了累累硕果，但我们无法在本书中一一列举。应用这一推广，人们以简单的方式，令人信服地解释了过去许多支离破碎、理解错误的事实。

运动的种类极为繁多，我们将从中选择最简单的几种，并用我们刚刚得到的定律加以解释。

从枪口发出的一枚子弹，沿着某个初始角度投出的石头，从一根管子里喷出的水流，所有的这些运动都形成了我们熟悉的同一种路径——抛物线。例如，我们可以在想象中把一个速率表安装在一块石头上，这样我们就可以在任何时刻画出它的速度矢量。图13可以准确地显示我们得到的结果。作用在石头上的力的方向正是速度变化矢量的方向，我们已经看到了应该如何确定这个方向。图14给出了结果，说明力垂直于地面，方向向下，这一结果与我们在塔顶让石头垂直下落时得到的完全相同。石头在这里的路径非常不同，速度矢量也非常不同，但速度的变化方向相同，也就是说，都指向地心。

如果用手甩动一块固定在绳子一端的石头，让它在一个水平平面上旋转，它将沿着圆形路径运动（如图15）。

如果转速恒定，图中所有代表这一运动的矢量都有相同的长度。尽管如此，这并不是匀速运动，因为路径并不是直线。只是当物体做匀速直线运动时才不涉及外力。然而，在这里，速度的数值并没有改变，但方向却改变了。根据运动定律，必然有造成这一变化的力，在这种情况下，是石头和拉住绳子的手之间的力施加了作用。这样马上就有了新的问题：这个力的作用方向是什么？图16给出了这个问题的答案。图16画出了在两个相距非常近的两点上的速度矢量，我们从中找到了速度变化的矢量。我们看到，最后的这个矢量是沿着绳子指向圆心的，而且总是与速度矢量或者轨道的切线垂直。换言之，通过绳子，手在石头上施加了一个力。

月球围绕地球的旋转是一个更加重要的例子，其情况与此非常相似。这个运动可以近似地表达为匀速圆周运动。与我们前一个例子中的力指向手的原因一样，这里的力指向地心。在地球和月球之间并没有一根绳子，但我们可以想象有一条连接两个天体中心的线，力位于这条线上，指向地心，与我们向空中扔出的石头或者从塔顶掉下来的石头所受的力情况相同。

可以用一句话总结我们说过的有关运动的一切： 力与速度的变化 是方向相同的矢量 。这是揭开运动之谜的最初线索，但它显然不足以完全解释我们观察到的一切运动。从亚里士多德的观点向伽利略的观点的转变，形成了科学基础上最重要的一块基石。这一突破一经形成，进一步的发展方向即已指明。在这里，我们的兴趣在于发展的第一阶段，即追踪我们的最初线索，弄清楚新的物理学概念是如何在与旧有观念的痛苦斗争中诞生的。我们只关心科学中的前驱工作，它们包括：找到出人意料的发展新途径，创建永恒变化的宇宙图像的科学思想探险。最初与最基本的步骤总是具有革命性的。科学的想象力发现，旧有的概念限制了科学的发展，因此用新的概念取代了它们。无论任何方向，一旦开创，沿着这一方向的持续发展便更多地具有进化的性质，直到达到下一个转折点，那时的人们必须征服一个更新的领域。然而，为了理解让重要概念必然发生变化的原因和困难，我们不仅必须知道最初的线索，也必须知道人们从中得出的结论。

现代物理学最重要的特点之一是：我们从最初的线索中得到的结论不仅是定性的，而且也是定量的。让我们再次想想从塔顶落下的一块石头。我们已经看到，石头的速度在下落的过程中加快，但我们知道的应该多得多。速度的变化到底有多大？在开始下落之后的任意时刻，石头会在哪里？速度如何？我们希望能预测事件，并通过实验确定，观察能否确认我们的预测，从而确认最初的假设。

为了得出定量的结论，我们必须使用数学语言。科学的大部分基本想法本质上是简单的，而且通常可以用人人都能理解的语言加以表达。要跟踪这些想法，就需要研究高度精练的技巧方面知识。如果我们希望得出与实验对照的结论，数学是必不可少的推理工具，但如果我们仅仅关心基本的物理学理念，就可以避免使用数学语言。在本书中，我们关心的一直是基本的理念，因此，为了让读者理解在进一步发展中出现的重要线索，我们有时只得在有限的情况下，不加证明地引用一些必需的结果。因为放弃数学语言所必须付出的代价是缺乏准确性，有时只能引用一些结果，而对如何得到它们不加说明。

运动的一个非常重要的例子是地球围绕太阳的公转（如图17）。我们知道，这一运动的路径是一个封闭的曲线，人们称之为椭圆。人们建立了地球在这条轨道上运动的速度矢量图，发现作用在地球上的力指向太阳。

但不管怎么说，这样的信息实在不算多。我们应该能预测地球和其他行星在任意时刻的位置，也应该能预测下一次日食发生的日期和延续时间以及许多其他天文现象。我们是可以做到这些的，但单凭我们最初的线索是不够的，因为我们现在不仅必须知道力的方向，而且要知道它的绝对值，即它的大小。牛顿在这个问题上做出了极有创见的猜测。根据他的引力定律，两个物体之间的引力是它们之间距离的一个简单函数。距离增加时引力减弱，具体地说，当距离是原来的2倍时，引力是原来的1/4，距离是原来的3倍时，引力减弱为原来的1/9。

于是我们看到，对于引力，我们已经成功地用一种简单的方式，表达了力与运动物体之间距离的相关性。我们继续以类似的方式探讨与各种不同的力作用的其他情况，例如电力、磁力以及其他力。我们尝试用简单的方式表达力。只有当由此得到的结论被实验证实的情况下，这样的表达方式才会被人们接受。

可是，单单靠引力方面的知识还不足以描述行星的运动。我们已经看到，在任何短暂的时间间隔内，代表力的矢量与代表速度变化的矢量具有相同的方向，但我们必须更进一步地继续观察牛顿的研究过程，假定它们的长度存在着一种简单关系。在所有其他条件都相同的情况下，也就是说，考虑同样的运动物体和相同的时间间隔，牛顿认为，速度的变化与力成正比。

于是，为了得到有关行星运动的定量结论，我们只需要两个互补的猜测。一个是普遍性质，说的是力和速度的变化之间的关系。另一个是特殊性质，说的是与两个物体之间的距离有关的那种特定的力的准确相关性。第一个是牛顿有关运动的普遍定律，第二个是他的引力定律，它们共同确定了这种运动的性质。我们可以用下面听起来有些笨拙的推理来清楚地说明这一点。首先假定，我们可以在某个给定时刻确定一颗行星的位置和速度，而且力是已知的。然后，根据牛顿的定律，我们可以知道在极短的时间间隔前后的速度变化。知道初始速度和速度的变化，我们就可以知道行星在这一时间间隔结束时的速度和位置。不断地重复这一过程，即使没有进一步的观察数据，我们也可以得出整个运动轨迹。这就是力学在原则上预测运动物体轨迹的方法，但这种方法几乎没有实用价值。实际上，这种一步一步进行的过程极为乏味，同时也很不准确。幸运的是，我们其实不必这样做，数学为我们提供了一条捷径，让我们有可能准确地描述运动，所花费的笔墨远少于写下一个句子。通过这种方法得到的结论可以通过观察证实或者证伪。

石头从空中落下，月球沿着自己的轨道旋转，在这两种运动现象中，人们认出了同一种外力，即地球对物体的吸引力。牛顿认识到，无论是下落的石头的运动，还是月球的运动，或者是行星的运动，都只不过是一种普遍存在于任何两个物体之间引力的非常特定的表现形式。在简单的情况下，我们可以描述运动，并通过数学预测将来。在距离遥远或者极为复杂的情况下，物体的运动将涉及许多物体之间的相互作用，其数学描述绝非如此简单，但其中的基本原则毫无二致。

通过追踪最初的线索，我们理解了抛出的石头的运动，月球、地球和行星的运动，最后我们得到了结论。

这确实是我们的整个猜测过程，它可以通过实验证实或者证伪。我们无法孤立其中的任何一个假定，对它进行单独的测试。对围绕着太阳旋转的行星来说，力学体系取得了巨大的成功。尽管如此，我们当然还是可以想象，说不定有其他体系，它以不同的假设为基础，但也同样能取得成功。

尽管从表面看，物理概念很像是由外在世界确定的唯一选项，但它们实际上是人类头脑的自由创造。让我们想象一个人，他正努力试图理解一个密封的手表的工作原理。他看着表面和运动着的指针，甚至聆听它嘀嗒作响的声音，但他完全无法打开表壳。如果他思维敏捷，他或许可以自创某种工作原理的图像，他所看到的一切或许确实是这样运转的，但他永远也无法确定，他画出的图像是否确实是唯一能够解释这些现象的理论。他永远没有机会对比他的图像和手表的真正工作原理，他甚至无法想象这样的对比，或者这样的对比有什么意义。但他当然相信，随着他的知识的增加，他有关真实的图像将变得越来越简单，将能在越来越广大的范围内解释他的感官的印象。他或许也相信知识存在着理想的极限，而且相信，人类的头脑可以接近这个极限，他或许会称这个极限为客观真理。我们努力地想要理解真实，这时候的我们多少有点像这个人。 gZPQTaoHRGUMBJR7TPjsUKAX9KVKjwCIx7KDJLn+5dSxa/nlBtbQlDcGjpK7gpV+