矢量

迄今我们考虑的所有运动都是 直线 运动，也就是说，是物体沿着一条直线的运动。现在我们必须再往前走一步。通过分析最简单的情况，并在我们的第一次尝试中排除一切复杂状况的条件下，初步认识了自然定律。直线比曲线简单。但是，仅仅了解直线运动无法让我们满意。月球、地球和行星的运动是运用力学定律取得辉煌成果的几个例子，但它们都是沿着弯曲的轨道运动的。从研究直线运动转而研究曲线运动，这会给我们带来新的困难。如果我们想要理解经典力学的原理，就必须有勇气克服这些困难，因为这些原理给了我们第一批线索，并形成了科学发展的起点。

让我们考虑另一个理想化实验，设想有一个完全圆滑的小球在一个光滑的桌面上匀速滚动。我们知道，如果有外力施加在小球上，则它的速度会改变。现在假定，与手推车的例子情况不同，这个外力的作用方向明显地不同于小球运动的方向（无论顺逆），比如说，与之垂直。小球将会发生什么样的情况呢？它的运动将分为三个不同的阶段：初始运动，力的作用阶段，以及力停止作用后的最终运动。根据惯性定律，在外力作用前后的小球运动都是完美的匀速运动。但这两种匀速运动有所不同：运动的方向不一样。小球的初始路径与力的作用方向相互垂直。小球最终运动的方向与上述两条线都不相同，处于二者之间。如果作用力比较大而初始运动速度较慢，则靠近力的作用线；如果作用力较小而初始运动速度较快，则靠近初始运动路径。根据惯性定律，我们得到的新结论是：一般来说，外力的作用不仅会改变速度，还会改变运动的方向。理解了这一事实，我们就做好了准备，迎接在物理学中引入的 矢量 这一概念。

我们可以继续使用直接的推理方法，出发点仍然是伽利略的惯性定律。在解决运动之谜方面，这个有价值的线索还大有潜力可挖。

让我们考虑在光滑桌面上沿不同方向运动的两个小球。为了有一个确定的图像，我们可以假设这两个方向相互垂直。由于小球上没有外力作用，它们的运动是绝对匀速的。我们进一步假设，它们的运动速度相等，也就是说，在相等的时间内，它们将走过相同的距离。但是，如果我们说它们有相等的速度，这种说法是否正确？答案可以是“是”，也可以是“否”。如果两辆汽车上的速率表都显示每小时40英里 ，我们通常说它们有相等的车速或者速度，无论它们各自朝哪个方向行驶。但为了科学本身的应用，它必须创造自己的语言和概念。科学概念经常始于日常生活事务中的普通语言，但它们有不同的发展。它们自身得到了改造，不再具有普通语言所含有的模糊性，而是有了严格的定义，这样就可以在科学思维中得到应用。

从物理学家的观点出发，说两个朝不同方向运动的小球的速度不同更合适。假设在同一个交通大转盘上，有四辆分别驶向四条不同道路的汽车，它们的速率表上的数字都是每小时40英里，但它们的速度各不相同。尽管这纯粹是一个惯例，但这样说十分方便。通过这种区分车速与速度的方式，可以让我们清楚地看到，物理学是从日常生活中的概念开始的，但却通过某种方式改变了这个概念。科学的进一步发展证明，这种方式会带来累累硕果。

我们进行测量时会得到一个结果，表达为某种单位的多少倍。一根棍子的长度或许是3英尺7英寸，某个物体的重量为2磅3盎司 ，测得的某个时间段是多少分钟或者多少秒。在每种情况下，测量的结果都表达为一个数字。然而，一个数字本身不足以描述某些物理量。对于这一事实的认知标志着科学研究的明显进步。例如，方向也和数字一样，是速度不可或缺的特征。这种带有数值和方向的量叫作 矢量 。矢量的恰当符号是一个箭头。我们可以用一个箭头表示速度，或者，简言之，用一个矢量表示速度，它的长度是某个选定单位的若干倍，表示速度的数值，它的方向就是运动的方向。

如果四辆汽车以相同的车速驶离这个交通大转盘，它们的速度可以用四个长度相等、方向不同的矢量代表（如图1）。上图使用的比例尺，1英寸代表每小时40英里。通过这种方法，任何速度都可以用矢量表示，反之，如果比例确定，我们可以根据这样一个矢量的图像确定速度。

如果两辆汽车在大路上相向而过，它们速率表上的数值都是每小时40英里。这时我们可以用两个不同的矢量（如图2）表示它们的速度，它们长度相等，但箭头指向相反的方向。同样，在纽约地铁中，分别标注着“出城”与“进城”的两辆火车也必定沿着相反的方向运动。但所有的火车，只要它们以同样的车速进城，则无论它们正在通过哪个车站或者在哪条轨道上运行，它们都有相同的速度，可以用同一个矢量代表。这个矢量不会告诉我们它们在哪两个车站之间，或者在许多平行轨道中的哪两条上运行。换言之，根据惯例，我们可以认为，图3中画出的所有矢量都相等；它们长度相等，位置相同或者平行，而且箭头指向同一个方向。图4中的几个矢量各不相同，因为它们或者长度不同，或者方向不同，或者二者都不相同。还可以用另一种方式画出图5中的四个同样的矢量，它们全都从同一点出发，指向不同的方向。因为出发点在这里并不重要，这些矢量可以代表从同一个交通大转盘驶离的四辆汽车的速度，或者是在这个国家中不同地方旅行的四辆汽车的速度，只要这几辆汽车具有这些矢量表示的车速和方向即可。

我们现在可以用这个矢量表示法描述过去讨论过的直线运动的情况。我们讨论做匀速直线运动的手推车，它受到了一个沿着运动方向的推力的作用，增加了速度。我们可以用两个矢量的图解方法表示这一过程，其中较短的矢量代表受到推力作用之前的速度，而方向相同但较长的矢量代表受到推力作用之后的速度（如图6）。用虚线表示的矢量的意义很清楚，它代表着速度的变化，我们知道，这一变化来自推力。在外力与运动速度完全相反的情况下，手推车的速度降低，表示这一过程的矢量图略有不同（如图7）。此处用虚线表示的矢量也对应于速度，但现在它的方向不同。很明显，不但速度本身是矢量，它们的变化也同样是矢量。但速度的每一种变化都是外力的作用造成的，因此，我们也必须用矢量代表力。为了表示一个力，只说出我们推动手推车的力有多大是不够的。与速度和速度的变化一样，我们也必须用矢量代表力，而不能只用一个数字。所以，外力也是一个矢量，其方向必定与速度的变化相同。在图6、图7中，虚线表示的矢量告诉我们力的方向，这个方向确实与速度变化的方向相同。

在这里，怀疑论者或许会发表评论，他看不出引入矢量概念的优点何在。我们做的一切，只不过是把过去已经认识到的事实翻译为一种复杂的、我们不熟悉的新语言。在当前阶段，我们确实很难让他认清自己的错误。实际上，他暂时是正确的。但我们将会看到，正是这种奇怪的语言，引起了一项重要的推广，其中使用矢量是其关键。 3BByZIQ1Gw6Y3FeuGSlx3kxP/JdepLk2ridCm3Z3hsS52ijlPcIddmI3KMOArOwe