才女算灯

著名小说《镜花缘》里有段故事：

元宵节，宗伯府的女主人卞宝云想考一考精通筹算的才女米兰芬，请她算一算楼房中灯的数目。她告诉米兰芬，楼上的灯有两种，一种上做三个大球，下缀六个小球，计大小球九个为一灯；另一种上做三个大球，下缀18个小球，计大小球21个为一灯。大灯球共396个，小灯球共1440个。楼下的灯也分两种，一种一个大球，下缀两个小球；另一种是一个大球，下缀四个小球，大灯球共360个，小灯球共1200个。她请米兰芬算一算楼上楼下四种灯各有多少个。米兰芬想了一想。先算楼下的，她将小灯球1200折半，得600，再减去大灯球360，得240，这是一大四小灯球的灯的盏数。然后用360减240，得120，这便是一大二小灯球的灯的盏数。再算楼上的，她先将1440折半，得720，减大灯球396，余324，再除以6，得54，这是缀十八个小球灯的灯的盏数。然后用3乘以54，得162，用396减162，得234，用234除以3得78，即下缀六个小球灯的灯78盏。卞宝云让人拿做灯的单子来念，果然丝毫不差。大家莫不称她为神算。若引进未知数列便容易解决，但米兰芬的神算法是从哪里来的呢？应该说，故事人物米兰芬是读了著名古书《孙子算经》。

《孙子算经》是我国古代一部较为普及的数学著作，在唐代初期用作“算学”的教科书。全书共分三卷，上卷叙述筹算的制度、方法和度量衡的单位；中卷举例说明筹算分数法，包括面积、体积、等比数列等计算题、应用题；下卷收集了不少有趣的名题、难题。书中对各种问题的解法很有特色，充分显示了中国筹算数学的特点。例如，下卷第31题是：

“今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡、免各几何？”

这是后世“鸡兔同笼”题的始祖。书中的解法是：设头数是a，足数是b，

则是 b－a兔数，a－（ b－a）是鸡数。

其具体算法过程是：

这种解法不但巧妙，而且有简便的筹算程序。可以看出米兰芬正是采用了这种解法。

对于“鸡兔同笼”问题，读者还可想出各种解法。例如，可以设想鸡、兔都是两只足，那么从35个头可知，应该只有70只足，但现在笼中实有94只足，两者相差24只，这是因为我们设想兔子只有两只足，每只少算两足，可见兔子数是12只。

“鸡兔同笼”问题是算术中一个典型问题，历代“算学”课本大都引用此题，但题目与解法不尽一样。例如，在元代的著作《丁巨算法》一书中，原题变成：

今有鸡兔100，共足272只，问鸡、兔各几何？

书中先设想全部是兔，那么100只兔该有400只足，但现在实际只有272只足，两者相差400－272＝128只，这是把鸡设想当作兔时多计算的足数。每只鸡多算两足。可见鸡数就是128的一半，即64只；兔数为36只。

《孙子算经》对我国及一些外国的数学发展都有一定的影响。“鸡兔同笼”问题传到日本，变成了“鹤龟算”，改成这名词可能是因为日本人特别欣赏乌龟的缘故。