难色的仙鹤图

传说宝华寺曾藏有一幅鲜为人知的仙鹤图。这仙鹤图为数海法师所作，在他临终前秘传给他的一位弟子，并嘱咐他死后49天才能打开。数海法师圆寂后，这位弟子总想打开图看看，但又不愿违背师父遗嘱。过了42天，实在坚持不下去了，当天半夜，他打开图一看，原来是张仙鹤图。画面上有7棵松树，每棵松树上均有7只仙鹤，松树下面写了一个黑色的“七”字，但有一棵松树例外，这松树上一只仙鹤也没有，松树下面写了一个红色的“七”字。

红色的“七”字是什么意思呢？弟子们无法理解。不过，因为数海法师神通广大，精通算术。人们相信，图中必有奥秘。后来，有了负数概念，有人猜测，红色的“七”字，表示负数（－7）。但是，松树上有（－7）只仙鹤，又是什么意思呢？始终是个谜。自从秦始皇焚书坑儒后，宝贵的仙鹤图失传，这事情几乎被人们遗忘了，但是，过了2000多年，人们又想起了仙鹤图，这与下面的椰子问题有关。

5个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上，发现那里有一大堆椰子。由于旅途劳累，大家顾不上椰子，很快就睡觉了。第一个水手醒来后，把椰子分成五堆，余一只给了猴子，自己藏了一堆又去睡觉了。第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来，和第一个水手一样，把椰子分成五堆，恰好又多一只给猴子，私藏一堆，再去入睡。天亮以后，大家发现椰子已剩下不多了，各人心里有数，但谁也不说。为了公平，大家把余下的椰子又分成五堆，每人得一堆。这时，巧得很，又余下一只，再给猴子。试问原先共有几只椰子？

这是一道世界有名的趣味数学题。

设最初共有椰子x只，天亮后大家一起分配时每人分得y只。

根据题意，可得

这是一个不定方程组，化简后可得到

它有无数组解，人们的兴趣是求其最小正整数解。如果用常规的方法（例如，用大衍求一术）来解，是很繁难的。

世界著名物理学家李政道在访问中国科技大学时，曾在少年班提到这个题目，并介绍了怀德海的解法。

怀德海是英国数理逻辑专家，对此他给出了一个异乎寻常的解法。

首先，从方程（＊）可看出，如果某数x；是方程的一个解，则x ₁ ＋15625也是方程的解。这一点我们也可用下面的方法来考虑，由于原有的椰子曾被连续6次分成5堆，因此如果某数是该方程的一个解时，则把此数加上5 ⁶ （5 ⁶ ＝15625）后，仍旧是方程的解。通常人们解不定方程应用题，总是只注意它的正整数解，可是怀德海却与众不同，他的方法异乎寻常，他先借助负整数来帮忙，在找到一个负整数解之后，再过渡到正整数。就像在几何中引用辅助线、辅助角一样。

在方程（＊）中，设y＝－1，则可得

1024x＝4096，∴x＝－4。

既然－4是这个不定方程的一个特解，那么，则－4＋15625也是方程的解。可见，所求的椰子数应是－4＋15625＝15621（只）。

怀德海说，他是用下面的想法“领悟”出－4是不定方程的一个特解的：

“假定当初有－4只椰子，则在其中硬拿出一只来给猴子后，根据正、负数减法，还剩下－4－1＝－5（只），分成五堆，每堆便有－1只椰子。私自藏起一堆之后，还有四堆，每堆有－1只椰子，所以一共仍然是（－4）只椰子，这正好仍然回到没有分以前的情况。照这样分法，不仅5次、6次……可以一直分下去，都符合题目之要求。因此，在这个题目中，－4是一个神奇的数。

按照常理来说，每堆椰子数为“负数”是毫无意义的，但从纯数学的观点来看，却是能满足题中分配方法的，并且是能帮助解决问题的。它正像物理学中的“负质量”或“虚功”一样，在解决具体问题时是有用的。

怀德海的巧妙解法传到我国后，人们想起2000年前的仙鹤图。既然，一堆椰子的数目可以设想是负数，那么，一棵松树上的仙鹤的数目，也可设想为负数。可以推测，数海法师早就掌握了利用负数解决问题的高度技巧。