五家共井

我国最早提出不定方程问题，它由“五家共井”引起。古代，没有自来水，几家合用一个水井是常见的事。《九章算术》一书第8章第13题就是“五家共井”问题：

今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深、绠长各几何！

用水桶到井中取水，当然少不了绳索，“绠”就是指“绳索”。原题的意思是：

五家共用一水井。井深比2条甲家绳长还多1条乙家绳长；比3条乙家绳长还多1条丙家绳长；比4条丙家绳长还多1条丁家绳长；比5条丁家绳长还多1条戊家绳长；比6条戊家绳长还多1条甲家绳长。如果各家都增加所差的另一条取水绳索，刚刚好取水。试问井深、取水绳长各多少？

虽然该问题是虚构的，它是最早的一个不定方程问题。

用现代符号，可设甲、乙、丙、丁、戊各家绳索长分别为x、y、z、u、v；并深为h。根据题意，可得

这是一个含有6个未知数、5个方程的方程组。未知数的个数多于方程个数的方程（或方程组）叫不定方程。用加减消元法可得

给定h不同的数值，就可得到x、y、z、u、v的各个不同的数值。只要再给定一些特定条件，就可得到确定的组解。原书中只给出一组解，是最小正整数解。

我国古代数学家在《九章算术》的基础上，对不定方程作出了辉煌的成绩。“五家共井”问题是后来百鸡术及大衍求一术的先声。

“五家共井”问题，曾引起世界上很多数学家的注视。在西方数学史书中，把最早研究不定方程的功绩归于希腊丢番都。其实，他在公元250年左右才研究这些问题，要比我国迟200多年。

公元6世纪上半期，张丘建在他的《张丘建算经》中有一个百鸡问题：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏生，值钱一。凡百钱，买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何？

意思是，如果1只公鸡值5个钱；1只母鸡值3个钱；3只小鸡值1个钱。现用100个钱，买了100只鸡。问公鸡、母鸡、小鸡各多少？

设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z只，则可得不定方程消去z不难得出

消去z不难得出

y＝

因为y是正整数，所以x必须是4的倍数。

设x＝4t，则y＝25－7t，z＝75＋3t

∵x＞0，∴4t＞0，t＞0；

又∵y＞0，∴25－7t＞0，t＜3

故t＝1，2，3。

∴原方程组有三组答案：

｛x＝4，y＝18，z＝78｛x＝8，y＝11，z＝81｛x＝12，y＝4，z＝84

数学史家评论说，一道应用题有多组答案，是数学史上从未见到过的，百鸡问题开了先例。《张丘建算经》中没有给出解法，只说：“术曰：鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得。”意思是：如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。因为7只母鸡值钱21，4只公鸡值钱20，两者相差3只小鸡的价格。只要得出一组答案，就可推出其余两组。但这解法怎么来的？书中没有说明。因此，所谓“百鸡术”即百鸡问题的解法就引起人们的极大兴趣。

稍后，甄鸾在《数术记遗》一书中又提出了两个“百鸡问题”，题目意思与原百鸡问题相同，仅数字有所区别。到了宋代，著名数学家杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中，也引用了类似的问题：

“钱一百买温柑、绿桔、扁桔共一百枚。只云温柑一枚七文，绿桔一枚三文，扁桔三枚一文。问各买几何？”

到了明清时代，还有人提出了多于三元的“百鸡问题”。不过，各书均与《张丘建算经》一样，没有给出问题的一般解法。

7世纪时，有人对百鸡问题提出另一种解法，但只是数字的凑合。到了清代焦循在他的《加减乘除释》一书中指出其错误。之后，不断有人提出新的解法，但都没有完全得到普遍解决此类题目的通用方法。例如丁取忠在他的《数学拾遗》中给出一个比较简易的解法：先设没有公鸡，用100个钱买母鸡和小鸡共100只，得母鸡25只、小鸡75只。现在少买7只母鸡，多买4只公鸡和3只小鸡，便得第一组答案。同理可推出其余两组。直到19世纪，人们才把这类问题同“大衍求一术”结合起来研究。

百鸡问题是一个历史名题，在世界上有很大影响。国外常见类似的题目。