兔子数列

由于研究兔子繁殖问题，引出了一个极为奇妙而重要的数列。

有位养兔专业户想知道兔子繁殖的规律，于是他围了一个栅栏，把一对刚出生的小兔子关在里面。已知一对小兔子出生后两个月就开始生兔子，以后则每月可再生一对，假如不发生伤亡现象，满一年时，栅栏内有几对兔子呢？

现在，我们来帮他算一算。为了寻找规律，我们用“成”字表示已成熟的一对小兔子，“小”表示未成熟的一对小兔子，因为一对小兔子生下两个月就开始生小兔子，所以我们可以画出以下图表。

可见，头6个月的兔子的对数是1，1，2，3，5，8。

这个数列有什么规律呢？稍加观察就可发现它的特点：从第三项起，每一项都等于其前两项之和。根据这个特点，我们就可以把这个数列继续写下去，从而得到一年内兔子总对数

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144。

可见，满一年时，一对刚出生的兔子可变成144对。

斐波那契是意大利人，12世纪、13世纪欧洲数学界的中心人物。他曾到埃及、叙利亚、希腊、西西里、法国南部等地游历，回国后便将所搜集的算术和代数材料加以研究，编写成《算盘书》。该书对欧洲大陆产生了很大影响，它用大量的题目说明理论内容。兔子繁殖问题就是其中的一题。所谓斐波那契数列就是指由兔子繁殖问题引出的数列

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…

其中an＝an－1＋an－2

斐波那契数列也可叫兔子数列，该数列中的每一项都称为斐波那契数。

它的通项公式为

并且，。斐波那契数列有着广泛的应用。它和现代的优选法有密切关系。所谓优选法就是，尽可能少做试验，尽快地找到最优生产方案的数学方法。70年代经著名数学家华罗庚的倡导，优选法在我国得到广泛的推广和应用，取得了很多成果。优选法中有个“0．168法”，所谓“0．168”就是的近似值。因此，人们就可用相邻两个斐波那列数之比来近似代替0．168。在这基础上，人们还创造了一种“斐波那契法”，来寻找最优方案。

最使人们感到惊奇的是，自然界很多现象都与斐波那契数列有关。科学家们发现蜜蜂的繁殖速度也符合斐波那契数列。除了动物的繁殖外，植物的生长也与斐波那契数有关。如果一棵树每年都在生长，那么，一般说来，第一年只有主干，第二年有2枝，第三年有3枝，最后是5枝、8枝、13枝等，每年的分枝数正好为斐波那契数。还有一些学者发现自然界中花朵的花瓣数目也与斐波那契数有关。生物学中的“鲁德维格定律”，就是斐波那契数列在植物学中的应用。

对于以上现象怎样解释呢？是偶然的巧合吗？大多数科学家认为，决不是巧合。是这些动、植物也懂得优选法吗？不是！其实道理很简单，自然界的生物在进化过程中都不自觉地服从着一条原则——“适者生存”，只有按照最优方案发展，才能很好地生存下去，否则就会慢慢被淘汰。

关于世界著名魔术大师兰迪有个小故事。他有一块边长为13分米的正方形地毯，想把它改成8分米宽，21分米长的地毯。于是，他找来一位工匠，请他加工。大家想一想，本来地毯面积是13×13＝169，加工后地毯的面积是8×21＝168。这位工匠当然无法完成。于是，他对兰迪说；“先生，我不是魔术师，恕我无法加工。”这时，聪明的兰迪教他先按左图中的方法割成两块，再重新拼凑一下，就得到了一块8×21（平方分米）的地毯（如下图）。

兰迪不愧为魔术大师，169平方分米分明比168平方分米大，这差数1平方分米变到哪里去了呢？读者如果自己动手，用硬纸剪割拼凑一下，也许会发现，当你将剪下的四个小块拼成长方形时，在对角线中段会出现微小的重叠，正是这种重叠，造成面积的误差。

十分奇妙，上面切割拼凑过程中碰到的四个数字5，8，13，21正好是斐波那契数。并且13 ² ＝8×21＋1，8 ² ＝5×13－1。

看来，兰迪掌握了斐波那契数列的一条重要原则：

a _n ² ＝a _n －1·a _n ＋1 ^±1 （n≥2）

读者能不能根据这条性质，模仿兰迪也设计出一个几何魔术呢？