2 自然数与人工数

1.最纯的数学

人们，特别是数学家，通常将数学视为一切科学的女王，而作为女王，它自然要避免与其他分支出现门不当户不对的联姻。例如，人们曾请希尔伯特在“纯数学与应用数学联合代表大会”上致开幕词，以消除人们在这两派数学家之间感觉到的敌意。他是以如下方式开始他的演讲的：

人们经常说，纯数学与应用数学相互敌对。这并不是真的。纯数学和应用数学之间并无敌意。纯数学与应用数学之间从来没有敌意。纯数学与应用数学之间永远也不会有敌意。纯数学与应用数学之间不可能有敌意，因为它们之间其实没有任何共同之处。

尽管数学家希望数学是纯粹的，希望与任何其他科学保持距离，但科学，特别是物理学，却喜欢数学，尽可能地与它建立“兄弟之情”。事实上，人们几乎正在使用纯数学的每一个分支，解释物质宇宙的这个或者那个特点，其中包括使用抽象群论、非交换代数和非欧几何，虽然这些分支已经被人视为最纯粹、最不可能有应用范围的数学。

然而，数学还有一个很大的分支，直到今天它还像一个超凡的隐士，全然不顾世间任何有目的的应用而遗世独立，只是作为脑力训练的体操让人望而生畏，因此取得了“纯洁之冠”的美誉。这个分支就是所谓的“数论”，其实是“整数的理论”，是纯数学思维最古老而又最错综复杂的产物。

尽管它看上去有些奇怪，但数论是最纯粹的数学类型，我们可以在某种意义上称其为经验科学，甚至是实验科学。事实上，它的大部分命题都是人们试图应用数字做各种不同工作的结果，就像物理学定律是人们试图对物质对象做不同的工作的结果一样。而且，这些命题确实有一些是用数学方法证明的，但还有一些尚未摆脱纯粹经验的出身，因此在向世界上最杰出的数学家提出挑战。

我们可以以质数问题作为一个例子，也就是那些不能被两个或者更多的较小整数的乘积来表示的数字，如1，2，3，5，7，11，13，17等 就是质数，而12是非质数，因为可以把它写成2×2×3的形式。

有无限多个质数吗？或者存在着一个最大的质数，比它大的一切整数都可以表示为我们已经知道的所有质数的乘积的形式吗？欧几里得（Euclid）第一个尝试回答这个问题，并做出了一个非常简单而又优雅的证明，说明质数的数目超越了任何限制，也就是说并不存在“最大的质数”这种事物。

为了检验这个问题，让我们暂时做一个假定，认为确实只存在着有限数目的质数，而且指定字母 N 代表我们已知的这个最大的质数。现在让我们计算所有质数的乘积，然后加上1。我们可以用如下形式表达这个运算：

1×2×3×5×7×11×13×…× N +1。

这个计算得出的数字自然要比人们所说的那个“最大的质数 N ”大得多。同样明显的是，由于这种运算的安排，我们可以看出，这个数字无法被包括 N 的任何质数整除，因为它除以任何质数都会有余数1。

这就是说，这个数或者本身是一个质数，或者可以被一个大于 N 的质数整除。无论哪种情况，我们原来关于 N 是最大质数的假定都是错误的。

人们称这种证明方法为归谬法，即在推导中导出了矛盾的结果。这是数学家喜欢用的方法之一。

一旦我们知道质数的数目是无限的，我们就可以提出一个问题：是否存在着某种简单的方法，能够让我们把它们按照规律一个接一个地罗列出来，不漏掉任何一个。这种方法是古希腊哲学家、数学家埃拉托色尼（Eratosthenes） 首先提出的，人们通常称其为“筛法”。你需要做的就是：按顺序写下所有的整数1，2，3，4，……，然后画掉2的所有倍数，然后画掉余下数字中3的所有倍数，然后是5的所有倍数，以此类推。埃拉托色尼的筛法对前100个数字的应用（图9），其中包括26个质数。通过使用上述简单的筛法，人们已经编制了10亿以内的质数表格。

然而，如果能够找到一个可以让我们迅速地、自动地、连续不断地找到质数的公式，那么事情就会简单得多了。在许多个世纪中，数学家们进行了无数努力，但这样一个公式仍然暂付阙如。1640年，著名的法国数学家费马（Fermat）以为自己找到了一个只会产生质数的公式。

他发明的公式是 +1，其中 n 是1，2，3，4等连续整数。

使用这个公式，我们发现：

2 ² +1=5，

+1=17，

+1=257，

+1=65,537。

从中得出的每一个数字都确实是质数。将近一个世纪后，瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）证明，费马的第五项计算 +1的结果为4,294,967,297，但这个数并非质数，而是6,700,417和641的乘积。于是，费马计算质数的公式宣告失败。

另外一个引人注目的公式产生了许多个质数，其为

n ² - n +41，

其中 n 也取1，2，3等自然数的值。人们证明，当 n 等于1到40时，所有根据公式做出的计算结果全都是质数，但不幸的是，公式的第41次运算惨遭败绩，事实上

（41） ² -41+41=41 ² =41×41，

这是一个平方数，不是一个质数。

又有人进行了另一次尝试，这次的公式是

n ² -79 n +1601，

到 n =79时它还一路高奏凯歌，但在 n =80时不幸落败！

就这样，找出一个只会产生质数的普遍公式的问题仍然未能得到解决。

数论定理的另一个有趣的例子是证明或者否证1742年提出的“哥德巴赫猜想”。这一猜想宣称：任何偶数都可以表达为两个质数之和。这很容易证明，因为在应用一些简单的例子时，这个猜想是正确的，如12=7+5，24=17+7，32=29+3等。但是数学家们在这方面进行了无数推算，他们都无法给出确定的证据，证明这一猜想准确无误，或者找到一个例子，能够否证这个猜想。直到1931年，一位名叫施尼尔曼（Schnirelmann）的苏联数学家才向最后的证明走出了建设性的一步。他能够证明，每一个偶数是不多于30万个质数之和。更近一步，在施尼尔曼的“30万个质数之和”与人们想要的“两个质数之和”之间的鸿沟被引人注目地缩小了，因为另一位名叫维诺格拉多夫（Vinogradoff）的苏联数学家将之减少到了“4个质数之和”。但从维诺格拉多夫的四个到哥德巴赫的两个之间，这最后的两步似乎是最为艰难的，谁也不知道，人类究竟还需要几年时间，或者是需要几百年时间，才能跨越这两步，证明或者否证这个艰难的命题。

也就是说，我们希望得到一个公式，能够自动地得到任何一个我们设定的大数以下的所有质数，但距离实现这个希望何其遥远。而且，还没有任何人哪怕做出一项保证，确认可以得到这样一个公式。

我们现在或许可以提出一个更有限的问题，就是在给定的整数区间内，质数相对于所有整数有多大的百分比。当我们探查的数字越来越大时，这个百分比是否大致恒定？如果不是，它会增大还是减小？通过在已有的表格中为质数的数目计数，我们可以以经验的方式回答这个问题。我们通过这种方法发现，存在着26个小于100的质数，168个小于1000的质数，78,498个小于100万的质数，50,847,478个小于10亿的质数。将质数的这些数目除以对应的整数区间，我们得到了如下表格：

这份表格首先显示的是，质数的相对数目随着整数变大而逐步变小，但完全没有出现某个数值之后不会再有质数的迹象。

是否有一种简单的数学方法，显示质数的这种百分比有着随数字变大而下降的趋势呢？是的，有这样的方法，而且适用于质数平均分布情况的这项定律是整个数学科学最重要的发现之一。它直截了当地宣称：在从1到任何更大的数字 N 之间的数字区间中，质数的百分比约等于 N 的自然对数的倒数 。而且 N 越大，精确度就越高。

在上一页的表格中，第四列是 N 的自然对数的倒数 。如果你将这些数值与第三列的数值加以比较，就会发现其中的符合程度相当高，而且随着 N 的增大，二者越来越接近。

与数论中许多其他命题一样，以上陈述的这个质数数量定理最先是根据经验发现的，而且在很长时间内都没有经过严格的数学证明确认。直到19世纪快结束的时候，法国数学家阿达马（Hadamard）和比利时数学家瓦莱·普桑（Vallée Poussin）才成功证明了这个定理，但他们使用的方法过于复杂与困难，不适于在这里解释。

如果没有讲述著名的费马定理，那我们有关整数的讨论将以遗憾收场。这个定理与质数的性质关系不大，我们以此作为这类问题的一个例子。这一问题的根源可以一直追溯到古埃及，那时每个有经验的木匠都知道，如果一个三角形的三边长度是3:4:5的比率，则三个角中必有一个直角。事实上，古埃及人用这样的三角形来制造木匠的曲尺，现在人们称这样的三角形为埃及三角形。 ^[1]

公元3世纪，亚历山大城的丢番图（Diophantns）开始考虑，3和4是不是唯一一对可以令其平方和等于第三个数的平方的整数。他能够证明还有其他具有同样性质的三数组（实际上，这样的三数组有无穷多个），并提出了找到它们的一般法则。现在人们称三条边的长度都是整数数值的直角三角形为毕达哥拉斯三角形，埃及三角形是其中的第一个。可以用一个代数方程简单地陈述构建毕达哥拉斯三角形的问题，其中的 x 、 y 和 z 都必须是整数： ^[2]

x ² + y ² = z ²

1621年，费马在巴黎买了一本丢番图的著作《算术》（ Arithmetica ）的法文新译本，其中有关于毕达哥拉斯三角形的讨论。当读到这份讨论时，他在书的空白处写下了一份简短的夹注，大意是：虽然方程 x ² + y ² = z ² 有无穷多组整数解，但当n是大于2的整数时，任何形如

x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ

的方程都没有整数解。

“我确实发现了一个非常棒的证明，”费马补充道，“但书的空白处太小了，没法写下来。”

费马去世以后，人们在他的图书馆里发现了这本丢番图的著作，他在书页空白处的夹注的内容也为世人所知。这是三个世纪之前的事，也是从那时起，每个国家最优秀的数学家都试图证明那个费马在写下夹注时想到的定理，但一直到今天都还没有人能够证明 。当然，人们在费马定理的证明上已经取得了显著进展，甚至通过这些尝试建立了一个崭新的数学分支，叫作“理想理论”。欧拉证明了方程 x ³ + y ³ = z ³ 和 x ⁴ + y ⁴ = z ⁴ 没有整数解；狄利克雷（Dirichlet）证明了方程 x ⁵ + y ⁵ = z ⁵ 没有整数解。而通过几位数学家的共同努力，我们现在有了当 n 为小于269的任何数值时费马方程没有整数解的证明。但我们还没有找到一个一般证明，即当指数 n 为任何整数值时方程没有整数解的证明，而且人们越来越怀疑，费马本人当时要么没有任何证明，要么证明中有错误。后来有人慷慨解囊，提供了一份奖项，悬赏10万德国马克征求证明，这让人们对证明定理趋之若鹜。可是，当然了，一切见钱眼开的业余玩家的努力没有得到一个铜板的回报。

当然，这个定理本身是错误的可能性一直存在，或许有一天，人们会发现两个整数的同次幂相加得到第三个整数的同次幂。但因为要找到这样一个例子就只能使用大于269的指数 ，因此现在的寻找绝非易事。

2.神秘的

现在让我们做一点高等算术。2×2=4，3×3=9，4×4=16，5×5=25。所以，4的平方根是2，9的平方根是3，16的平方根是4，25的平方根是5。 ^[3]

但是，负数的平方根会是什么呢？诸如 和 这类表达式是否有任何意义呢？

如果你打算按照理性的方式弄清这个问题，毫无疑问你将得到一个结论，即以上的表达式根本毫无意义。我们不妨在此引用12世纪婆罗门数学家婆什迦罗（Brahmin Bhaskara）的话：“无论正数或者负数的平方都是正数。因此一个正数的平方根有两个，一个正数和一个负数。负数没有平方根，因为任何负数都不是平方数。”

但数学家都是倔强的人。如果看上去没有道理的东西反复出现在他们的公式中，他们就会尽量想办法从中找出道理来。而负数的平方根当然总是在各种不同的地方出现，无论是让过去的数学家们绞尽脑汁的简单算术问题，还是20世纪相对论框架下的时空统一问题。

在纸上写下一个公式，其中包括表面上全无道理的负数平方根，第一个吃螃蟹的勇者是16世纪的意大利数学家卡尔达诺（Girolamo Cardano）。他当时在讨论如何把数字10分为两部分，使它们的积等于40。这时他证明，尽管这个问题没有任何有理数解，但人们可以得到答案，而这是两个不可能的数学表达式：5+ 和5- 。 ^[4]

卡尔达诺写下了上面的几行字，然后写下了自己的保留意见，认为这东西毫无意义，是虚数，是想象中的数字，但他还是写下来了。

尽管负数的平方根是想象中的，但如果有人敢于把它写下来，就算解决了把数字10按照希望的样子分成两个数的问题。一旦有人第一个打破了负数的平方根的坚冰（卡尔达诺给它杜撰的诨名是“虚数”），这类数字就被数学家们越来越多地用了起来，尽管他们总是有着很大程度上的保留和合适的借口。著名的瑞士数学家欧拉于1770年出版了一部代数著作，其中大量应用了虚数，但为了冲淡可能带来的影响，欧拉特意发表了声明：“所有这些诸如 和 等的表达都是不可能的或者是虚构的，因为它们代表的是负数值的平方根；而对于这些所谓的数字，我们可以真诚地断言：它们既不是什么都没有，也不是比什么都没有多一些，也不是比什么都没有少一些，它们只不过是想象的数或者不可能的数。”

尽管他对虚数有一些抨击和借口，虚数还是像分数或者根式那样，很快就变得在数学中不可避免了。因为如果不使用它们，人们简直什么问题也解决不了。

可以这样说，虚数这一家子的成员代表着正常数字或者实数的一个虚拟的镜像。人们可以从基本数字1开始构建所有的实数，与此相同，我们也可以从虚数的基本单位 开始构建所有的虚数。通常我们可以把虚数单位写成 i 。

很容易看出， = × =3 i ， = × =2.646… i ，等等，于是，每一个普通的实数都有它的虚数对应物。我们也可以像卡尔达诺最初做的那样，把实数和虚数结合起来形成单一表达，例如，5+ =5+ i 。人们通常称这些混合形式为复数。

虚数闯入数学领域的两百多年间，它们一直蒙着一层神秘的面纱发展，这种状况直到两位业余数学家给了它们一个简单的几何解释之后才宣告结束，这两位仁兄一个是名叫韦塞尔（Wessel）的挪威勘探员，另一个是名叫阿尔冈（Jean Robert Argand）的巴黎簿记员。

根据他们的解释，按照图10所示的方法，可以表述诸如3+4 i 这样一个复数，其中3对应水平方向的长度或者坐标，4对应垂直方向的长度或者坐标。

确实，所有普通的实数，无论正负，都可以表达为水平轴上的点，而所有纯虚数都可以表达为垂直轴上的点。一个像3这样的实数可以表示为水平轴上的一个点，当我们让它与虚数单位 i 相乘的时候，我们就得到了一个纯虚数3 i ，我们必须把它画在垂直轴上。因此，某数乘以 i 在几何上等价于沿逆时针方向旋转90°（图10）。

如果让3 i 再次与 i 相乘，则3 i 必须再次逆时针旋转90°，则我们得到的点又回到了水平轴上，但它现在位于负方向。所以，3 i × i =3 i ² =-3，或者说 i ² =-1。

这样一来，与“逆时针连续旋转两个90°会让你面向相反的方向”相比，“ i 的平方等于-1”这种说法就容易理解得多了。

当然，同样的规则也适用于混合复数。让3+4 i 乘以 i ，我们得到：

（3+4 i ） i =3 i +4 i ² =3 i -4=-4+3 i 。

你立刻就可以从图10看到，点-4+3 i 对应于点3+4 i 绕原点逆时针旋转90°。与此类似，我们也可以从图10看出，乘以- i 只不过是绕原点沿顺时针方向旋转90°。

如果你仍然觉得虚数有一层神秘的面纱，你可以通过研究一个具有实际应用意义的简单问题撕开它。

假定有一位喜爱探险的年轻人，在他曾祖父的文件中发现了一张羊皮纸，披露了一处隐藏着的宝藏的位置。纸上的指示：

驾船前往北纬某某度，西经某某度 ，汝将在那里发现一座无人居住的岛屿。岛屿的北海滩上有一大片开阔的草地，那里有一棵孤零零的橡树和一棵孤零零的松树 。汝也将在那里见到一座旧绞刑架，吾等通常在那里处死叛徒。汝以绞刑架为原点走向橡树，并记下走了多少步。在橡树那里汝必须向右转90°，并走出同样多的步数。在那里的地上打下一根尖桩。现在汝必须回到绞刑架那里，接着向松树走去，也记下走了多少步。走到松树那里，汝必须向左转90°，然后走同样多的步数，并在地上打下另一根尖桩。在两根尖桩正中间的地方挖掘，即可找到宝藏。

指示既清楚又明确，于是这位年轻人便包了一条船来到南太平洋。他找到了岛屿、草地、橡树和松树，但让他痛心疾首的是，那座绞刑架全无踪影。文件写下之后，已经过去了许多年。风吹雨打日晒，木质的绞刑架已经腐朽，尘归尘，土归土，就连它当年的痕迹也不知所踪。

这位青年探险家陷入了绝望，然后，在狂暴的愤怒下，他在草地上随意乱挖。但他的一切努力都毫无成效，这座岛太大了！最后他只能空手而归。那宝藏说不定现在还在那里。

这是一个可悲的故事，但更可悲的是，如果这家伙学过一点数学，特别是虚数的应用，他其实是可以找到宝藏的。现在就让我们看看，我们是否能够为他找到宝藏，尽管现在为时已太晚，不会对他有什么帮助了。

将这座岛屿视为一个复数平面，连接两棵树，画出实数轴，在两棵树中点处，以与实轴垂直的方向画出虚数轴，见图11。以两棵树之间的距离的一半作为我们的长度单位，我们可以说橡树的位置在实轴的-1点上，松树在+1点上。我们不知道绞刑架在哪里，所以用一个希腊字母 Γ （大写的伽马）标注它的假定位置，这个字母看上去有点像个绞刑架。因为绞刑架不一定会在两根轴上，所以我们必须把 Γ 写成复数形式： Γ = a + bi ，其中 a 与 b 的意义已在图11中有所解释。

在记住了上述虚数乘法规则的情况下，现在让我们做一些简单的计算。如果绞刑架在 Γ ，橡树在-1，它们之间的距离和方向可以记为（-1）- Γ =-（1+ Γ ），同样，绞刑架和松树之间的距离和方向可以记为1- Γ 。根据上述规则，要将这两个距离沿顺时针方向（向右）和逆时针方向（向左）各旋转90°，我们就必须分别乘以- i 和 i ，于是便可以找到打下的尖桩的位置，方法如下：

第一根尖桩：（- i ）[-（1+ Γ ）]+1= i （ Γ +1）+1；

第二根尖桩：（+ i ）（1- Γ ）-1= i （1- Γ ）-1。

因为宝藏位于两个尖桩连线的中点，所以我们现在必须计算出上面两个复数之和的一半。由此我们得到：

［ i （ Γ +1）+1+ i （1- Γ ）-1］

= （+ iΓ + i +1+ i - iΓ -1）

= （+2 i ）=+ i 。

现在我们可以看出，以 Γ 为标注的绞刑架的位置已经在计算的过程中被消去了，因此，无论绞刑架原来在什么地方，宝藏都一定位于点+ i 。

所以，如果那位探险青年能够知道这么简单的算法，他就没有必要把整个草地挖上一遍，而是在图11上打了一个叉的点上破土，从而发现宝藏。

如果你仍然不相信在不需要知道绞刑架位置的情况下就能发现宝藏，你可以在一张纸上标注两棵树的位置，假定几个绞刑架的位置，并试着执行羊皮纸上的指示，你都会得到同样的地点，对应于复平面上的+ i ！

通过使用-1的虚数平方根，我们还发现了另一个隐藏着的宝藏，一个惊人的发现：按照四维几何的规则，我们的普通三维空间和时间可以统一，形成一个四维图像。我们将在下一章中讨论阿尔伯特·爱因斯坦的想法和他的相对论，那时候我们会重新提及这一发现。

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[1] 小学几何中对毕达哥拉斯定理的证明中说的是：3 ² +4 ² =5 ² 。

[2] 使用丢番图的一般规则（取任意两个可令2ab成为完全平方数的数值a与b，令x=a+ ，y=b+ ，z=a+b+ ，则x ² +y ² =z ² ，这一点很容易通过普通代数知识加以验证），我们可以建立一个所有可能的解的表格，这个表格的前面几行是这样的：3 ² +4 ² =5 ² （埃及三角形），5 ² +12 ² =13 ² ，6 ² +8 ² =10 ² ，7 ² +24 ² =25 ² ，8 ² +15 ² =17 ² ，9 ² +40 ² =41 ² ，10 ² +24 ² =26 ² 。

[3] 找出许多其他数字的平方根也不困难。例如我们知道， =2.236…，因为（2.236…）×（2.236…）=5，而 =2.702…，因为（2.702…）×（2.702…）=7.300…。

[4] 证明如下：（5+ ）+（5- ）=5+5=10，且（5+ ）x（5- ）=（5x5）-5 +5 -（ x ）=（5x5）-（-15）=25+15=40。 Qkczm4cBvY2bBv8oBvk+cHsAm++4Ku9jLRCfbLuWBf1948xbpiM5UMqWD9+Vq/f9