1 大数字

1.你最多能数到几？

这是一个关于两位匈牙利贵族的故事。他们决定玩一个游戏，能够说出最大的数字的那个人获胜。

“行啊，”其中一个人说，“你先说出你的数字吧。”

经过几分钟艰难的思索之后，第二位贵族说出了他能够想到的最大的数字。

“3。”他说。

现在轮到第一个人思考了，但他在15分钟之后选择了放弃。

“你赢了。”他说。

这两位匈牙利贵族当然不是高智商的代表 ，而且这个故事很可能是在挖苦讽刺人，但这样的谈话或许真的曾经在两个人之间发生过，只是他们不是匈牙利人，而是霍屯督人（Hottentots）。确实有一些很有权威的非洲探险家向我们证实，许多的霍屯督人部落的词汇中没有大于3的数。譬如你问一个当地人他有几个儿子，或者他杀死了多少敌人，如果不止3个，他就会告诉你“许多”。所以，如果一个幼儿园小娃娃能够数到10，他就能在数数这项技艺比赛中一举击败那些霍屯督人部落里强壮的成人！

今天，我们想写多大的数字都能办到，而且对此已经非常习惯了。无论这些数字代表的是以美分为单位的经费，还是以英寸为单位的星际距离，你只需要在某个数字的右边加上足够多的零就可以了。你可以一直写零，写到你的手发软，结果在不知不觉中，你已经写下了一个数字，甚至大于整个宇宙中所有的原子的数目 ，而我们不妨顺便说一句，宇宙中所有原子的数目是300,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000。

或者，你可以把它写成较为简单的形式：3×10 ⁷⁴ 。10的右边，比其他数字高出一点的小数字74代表着你必须写多少个零。换言之，就是必须用74个10和3连乘。

但在古时候，这个能让“算术变得容易”的数字系统还不为人知。事实上，这个系统是在不到两千年前由某个没有留下名字的印度数学家发明的。在他做出这个伟大的发现——这确实是一个伟大的发现，尽管我们通常没有认识到这一点——之前，数字是人们用一些特殊的符号写成的，每一个这样的符号代表我们今天说的一个十进制单位。这样的符号重复多少次，就说明有多少个这样的单位。例如，古埃及人是这样书写数字8732的：

而在恺撒（Caesar）的政府里，他的一位部下会用如下形式代表这个数字：

MMMMMMMMDCCXXXII

后面这种计数法你肯定熟悉，因为罗马数字有时候还在使用，比如标注一本书的卷数和章节，或者是在华丽的纪念碑上标明某个历史事件的年代。然而，因为古人在计数方面的需要不超过几千，所以也就不存在更高的十进位制的单位。所以，无论一位古罗马人在算术方面经历过何等优良的训练，当他需要写下“一百万”这样一个数字的时候也会变得手足无措。面对这种要求，他能采取的最好的方法，就是苦干几个小时，连续写下1000个M（图1）。

对古人来说，非常大的数字，如天上的星星有多少个，海里的鱼有多少条，或者海滩上有多少颗沙粒，这些都是“没法数”的，这就跟霍屯督人一样，他们认为“5”是没法数的，因此用“很多”一言以蔽之！

所以，就连公元前3世纪的天才科学家阿基米德（Archimedes） 也需要运转他伟大的大脑，认真地得出“写出很大的数目还是可能的”这样一个结论。阿基米德在他的科学论文《数沙器》（ Sand Reckoner ）中写道：

有人认为，沙粒的数字是无穷大的；这里说的沙粒，我指的不只是在锡拉丘兹（Syracuse）和西西里上的沙粒，而是我们能够在整个世界所有地区找到的沙粒，不管那里是否有人居住。同样，还有一些人，他们并不认为这个数字是无穷大的，并且认为我们无法说出一个足够大的数字，大到能够超过世界上所有沙粒的总和。很显然，这些人认为，他们可以想象一个全部由沙粒组成的庞大体积，它在各方面都足够大，大得像整个世界一样，包括其中所有的海洋和洼地，并且把它全部填充起来，变得像最巍峨的山峰那么高。他们觉得，想象一个能够表达堆在一起的这些沙粒数目的数字是不可能的。但我要在这里证明，我发明了一种命名数字的方法，它不但能够给出用上述方法堆积而成的世界沙粒的数目，甚至可以等于在整个宇宙那么大的体积里全部堆积的沙粒数目。

在这篇著名的论文中，阿基米德提出了一个能够书写非常大的数字的方法，与现代科学中书写大数字的方式类似。他从古希腊算术中最大的数字“myriad”，即一万开始。接着他引入了一个新数字，“一万的一万倍”，就是一亿，把它叫作“octade”，就是“第二级计数单位”。然后是“第三级计数单位”，也就是一亿的一亿倍，即一亿亿。下面还有“第四级计数单位”，即一亿的一亿倍的一亿倍，以此类推。

看上去，书写大数字似乎不过是寻常小事，不值得在一本书中用几页纸的篇幅加以描述，但在阿基米德的时代，找到一种书写大数的方法确实是一个伟大的发现，是数学科学向前发展的重要步骤。

为了计算能够填充整个宇宙的沙粒的数字，阿基米德必须知道宇宙有多大。那个时代的人们相信：宇宙是包在一个水晶球里面的，固定的星辰就镶嵌在球面上。据阿基米德的同代人、萨摩斯著名的天文学家的阿里斯塔克（Aristarchus） 估计，从地球到天球的边缘的距离是10,000,000,000个视距 ，即大约1,000,000,000英里。

在比较了这个球体的体积与一粒沙的大小之后，阿基米德进行了一系列能让中学男生晚上做噩梦的计算，最后得到的结论是：

很显然，在阿里斯塔克估计的天球那么大的空间内，可能包含的所有沙粒的数字不会超过一千万个第八级计算单位。 ^[1]

我们或许应该在这里指出，阿基米德对宇宙半径的估计远远低于现代科学家们计算出的结果。10亿英里只不过略略大于我们的太阳系中土星这个行星的位置。我们现在已经用望远镜探测到的距离是5,000,000,000,000,000,000,000英里，而填满这样一个可视宇宙的沙粒的数目将会超过10 ¹⁰⁰ ，即1后面拖着100个零。

这当然远远大于我们在本章开始时陈述的宇宙中所有原子的数目：3×10 ⁷⁴ ，但我们千万不要忘记，宇宙中并不是完全填充着原子；事实上，在整个空间内，平均每立方米只有大约一个原子。

但是，要得到大数字，我们完全没有必要采取将整个宇宙堆满沙粒这类极端的行为。其实这类数字往往会从一些乍一看很简单的问题中跳出来，尽管你觉得其中牵涉的任何数字都不会超过几千。

惨遭这种令人崩溃的数字荼毒的一个例子是印度的舍罕王（King Shirham）。有一个古老的传说，他曾想要赏赐宰相西萨·本·达希尔（Sissa Ben Dahir），因为后者发明并向他奉献了象棋这种游戏 。这位聪明的宰相要求的奖赏似乎微不足道。他跪在国王面前说：“陛下，请在棋盘的第一个方格内给我一粒小麦，第二个方格内给我两粒小麦，第三个方格上给我四粒小麦。第四个方格上给我八粒小麦。就这样，请国王陛下每次都把方格上的小麦数加倍，覆盖棋盘上所有64个方格，这就是我要求的赏赐。”

“你的要求很谦卑哦，我忠诚的仆人。”国王说道。他心中窃喜，因为他觉得，这样一种神奇游戏的发明者居然会提出如此小的要求，这样的赏赐与他的珍宝相比不过是九牛一毛。“你的要求我当然恩准了。”然后他叫人将一口袋小麦带到他的宝座前。

于是计数就开始了，第一个方格一粒小麦，第二个方格两粒小麦，第三个方格四粒小麦……结果不到二十个方格，口袋就空了。国王继续叫人拿来小麦袋子，但每一个方格上需要的小麦越来越多。结果情况很快就清楚了：即使把全印度的粮食全部拿出来，国王也无法凑足他答应给达希尔的奖赏。这一份奖赏是18,446,744,073,709,551,615粒小麦！ ^[2]

这个数字要比宇宙中的原子总数小，但也相当大了。假定一蒲式耳 小麦有大约5,000,000粒，国王就需要四万亿蒲式耳才能满足达希尔的要求，而全世界每年的小麦平均产量大约为2,000,000,000蒲式耳。所以，这位宰相的要求是大约两千年的世界总产量！

就这样，舍罕王发现他欠了自己的宰相一大笔债，要么他需要面对后者持续不断的讨债要求，要么一刀砍掉宰相的脑袋一了百了。我觉得他很可能会选择第二种方法。

还有一个由大数扮演主要角色的故事，也来自印度，与所谓“世界末日”的问题有关。对数学情有独钟的历史学家鲍尔（W. W. R. Ball）是这样讲述这个故事的：

在标志着世界中心的贝拿勒斯（Benares）大寺庙的天穹之下有一个黄铜盘子，上面插着三根金刚石针，每根针有一腕尺高（一腕尺约为20英寸） ，大概有一只蜜蜂的身体那么粗。创世之初，神灵在其中一根针上插了64块纯金圆盘，最大的那块放在黄铜盘子上，以后的圆盘越来越小，一直到最顶上的那块。这就是梵天（Brahma） 之塔，值班的祭师每天日夜不停地把这些圆盘从一根金刚石针上转移到另一根上。按照法则要求，祭师一次只能移动一个圆盘，而且绝对不可以把小的圆盘放到较大的圆盘下面。当用这种方法，祭师们把所有的圆盘都从神灵创世时放着的那根针移到另一根针上的时候，梵天之塔、寺庙和婆罗门祭师们全都会变为尘埃，随着一声雷霆震响，整个世界灰飞烟灭。

图3画出了故事中描述的情况，只是画出的圆盘不到64块。你可以用普通的硬纸板代替黄金、长铁钉代替金刚石针，做一个印度传说中的这个谜语玩具。不难发现，根据移动圆盘必须遵守的规则，你移走一块圆盘需要的步骤是上一块所需要的两倍。也就是说，移走第一块圆盘只要一步，但移走随后的每一块圆盘的步骤数目按几何级数递增。所以，当第64块圆盘被移走时，所有步骤的数目总和与达希尔所要求的小麦粒数相等！ ^[3]

需要多长时间才能把梵天之塔上所有的64块圆盘从一根针上转移到另一根上呢？不妨假定婆罗门祭师们昼夜不停地干活，没有节假日，每秒移动一次。因为一年有大约31,558,000秒，所以他们需要58万亿年多一点的时间完成这项任务。

让我们比较一下纯粹的传说和现代科学中有关宇宙年龄的预言，结果是很有趣的。根据有关宇宙演化的当前理论，恒星、太阳和包括地球在内的行星是在大约30亿年前由不定形物质凝聚形成的。我们也知道，为恒星，特别是为我们的太阳提供能量的“原子燃料”还可以继续维持100亿到150亿年（见第11章，“创世的岁月”）。所以，宇宙的整个生命周期肯定不到200亿年，更别说印度传说中估计的58万亿年了！但不管怎么说，传说毕竟只是传说。

很可能，人类在文献上提到的最大数字，就是那个著名的“印刷行数问题”中的数字了。假定我们制造了一台印刷机，它能持续不断地、一行接一行地印刷，并自动地为每一行选择字母表中不同字母的组合和另外的印刷符号。这样的机器将由一系列分开的圆盘组成，它们全都在边缘上带有字母和符号。这些圆盘相互啮合的方式与你汽车的里程显示器上的数字圆盘相同，所以每个圆盘转动一整圈会让下一个圆盘向前移动一个位置。纸是整卷的，它随着印刷机的每一次运动自动进入滚筒。制造这样一台自动化印刷机并不很困难，它的样子如图4所示。

我们让这台印刷机开始工作，并检查一下这台印刷机印出来的无穷尽的各种资料。大部分字行没有什么意义，它们看上去就像这个样子：

“aaaaaaaaaaa...”

或者是

“boobooboobooboo...”

或者是

“zawkporpkossscilm...”

但因为这台印刷机印刷的是一切可能的字母和符号的组合，我们可以在这些毫无意义的垃圾印刷品里看到有意义的各种句子，当然其中有许多没有用的句子，如：

“horse has six legs and...”（马有六条腿和……）

或者

“I like apples cooked in terpentin...”（我喜欢吃在松节油里煎过的苹果……）

但经过一番搜索之后，也可以发现莎士比亚写的每一行句子，甚至是一些他本人扔到纸篓里的纸上写的句子！

事实上，这样一台印刷机将印刷人类学会写字以来写下的所有句子：每一行散文和诗歌，报纸上的每一篇社论和广告，科学专著中连篇累牍的每一卷，每一封情书，给送牛奶的人的每一张订单……

而且，这台机器也将印刷人们在今后许多个世纪中会印刷的东西。在那些从滚筒出来的纸张上，我们将会发现30世纪的诗歌，未来的科学发现，即将在第五百届美国国会上发表的演讲，2344年行星交通事故的流水账。将会有一页又一页人们从未动笔书写的短篇和长篇小说，而那些在地下室中放有这种印刷机的出版商，他们只需要在堆成山的废纸堆里扒拉出那些好的作品编辑出版就行了，而这正是他们今天正在做的事情。

为什么做不到这一点？

好吧，就让我们数一数，为了得到所有可能的字母和印刷符号的组合，这台机器应该印刷多少行吧。

英文字母表中有26个字母，10个数字（0，1，2，3，4，5，6，7，8，9）和14个普通符号（空白、句号、逗号、冒号、分号、问号、惊叹号、破折号、连字符、引号、省略号、小括号、中括号、大括号），这些总共是50个符号。同时也让我们假定，对应平均每个印刷行的65个位置，这台机器有65个机轮。印刷的每一行可以选50个符号中的任何一个开始，所以我们在这里有50种不同的可能性。对应这50种不同的可能性中的每一个，这一行的第二个位置又有50种不同的可能性，加起来就有50×50=2500种不同的可能性。但对于头两个符号的每一个给定的组合，我们都可以对第三个位置做出50种不同的选择，以此类推。总的算起来，整个一行中可能有的安排的数目可以表达为：

50×50×50×…×50，总共65个50相乘的乘积。也就是50 ⁶⁵ ≈10 ¹¹⁰ 。

如果你想要感觉一下这样一个数字有多大，你可以让宇宙中的每一个原子代表一台这样的印刷机，于是我们就有了3×10 ⁷⁴ 台同时工作的超级印刷机。然后你可以进一步假定，所有这些印刷机都从宇宙诞生之日开始连续工作，也就是说，它们工作了30亿年，或者说10 ¹⁷ 秒，而且以原子振动的频率印刷，即每秒印刷10 ¹⁵ 行。结果，时至今日，它们总共印刷的行数大约是

3×10 ⁷⁴ ×10 ¹⁷ ×10 ¹⁵ =3×10 ¹⁰⁶ ，

但这只不过达到了要求数字的1/3000。

没错，要从这些自动印刷的材料中做出任何一种选择，你都确实需要勤勤恳恳地工作很长的时间！

2.怎样数无穷大

我们在前一节中讨论了数字，其中有许多相当大。尽管一些庞然大物大得让人无法相信，就像达希尔向国王讨要的小麦颗粒的数，但这些数仍然是有限的，而且，只要有足够的时间，人们可以把它们的每一位数全写下来。

但确实有一些真正无穷大的数，无论我们花多长时间去写，可能写下的任何数都小于这类大数。比如，“所有整数的数目”显然是无穷大的，而“一条线上所有几何点的数目”也同样如此。那么，除了说这些数是无穷大的之外，我们是否能够就它们的性质说点什么呢？比如说，我们是不是能够比较两个不同的无穷大，看看它们中哪一个“更大”？

如果我们问：“所有数的数目和一条直线上所有点的数目，它们两个哪个更大？”这种问题有没有意义？这类问题乍一看十分古怪，但由一位著名数学家最先认真地加以考虑，他就是康托尔（Georg Cantor） ，他是“无穷大算术”货真价实的创造者。

如果我们想要谈论哪些无穷大比较大，哪些无穷大比较小，我们就会面临一个问题，与霍屯督人在检查自己的珍宝箱时遇到的问题类似，这位非洲当地人想知道，他的玻璃珠子多还是铜币多。也就是说，我们都需要比较一些我们既无法命名又无法写下来的数字。但是，想必我们都记得，霍屯督人无法数出超过3的数字。那么，他是不是会知难而退，因为他没法数就不去比较珠子和硬币呢？事实并非如此。如果他足够聪明，他就可以通过一个一个地对比珠子和硬币得到答案。他可以把一个珠子放在一枚硬币旁边，另一个珠子放在另一枚硬币旁边，就这样一一对应，不断地摆在一起……如果他的珠子全摆完了，而硬币还有剩余，他就知道他的硬币比珠子多；如果硬币先没有了但还有珠子，他就知道他的珠子比硬币多。而如果两种东西同时摆完，他就知道二者一样多。

为了比较两个无穷大，康托尔建议使用完全相同的方法：如果我们可以将两个无穷大集合中的物体配对，让一个无穷大集合中的每一个物体与另一个无穷大集合中的每一个物体结成“对子”，最后每个集合中都没有物体剩余，则这两个无穷大相等。反之，如果做不到这样的安排，而是在其中一个集合中剩下了一些未曾配对的物体，我们则说，这个集合中的物体的无穷大较大，或者我们可以说，这个无穷大比另外那个集合中的物体的无穷大更强。

这样做显然是最合理的规则，事实上也是唯一可行的规则，可以让我们用来比较无穷大量，但我们必须做好准备，在我们开始应用这个规则时，我们会大吃一惊。让我们以一切偶数的无穷大和一切奇数的无穷大为例。当然，直觉告诉你，偶数的数目应该和奇数一样多，因为在这些数之间可以有一一对应的关系：

在这个表中，一个偶数对应一个奇数，反之亦然；因此，一切偶数的无穷大等于一切奇数的无穷大。这似乎确实既简单又自然！

但是，且慢。在下面的无穷大中哪个大些：包括偶数和奇数的所有整数数目的无穷大，还是只包括偶数数目的无穷大？你当然会说，所有整数数目的无穷大更大，因为在其中包括所有偶数加上所有奇数。但这只不过是你的想象，而为了得到准确的答案，我们必须使用上述无穷大比较法则。而如果你用了这个法则，你会很吃惊地发现，你的直觉是错误的。事实上，在下面的表格中，我们把所有整数列在上边，所有偶数列在下边，它们之间存在着一一对应关系：

根据我们比较无穷大的法则，我们必须承认，偶数的无穷大正好等于所有整数的无穷大。听起来这当然有些自相矛盾，因为偶数只是所有整数的一部分，但我们必须记住，我们现在的操作对象是无穷大数字，我们必须做好会遇到不同性质的准备。

实际上，在无穷大的世界中，部分可以等于全体！对这一点最好的说明，很可能是关于著名德国数学家希尔伯特 （David Hilbert）的一个故事。据说，在他有关无穷大数字的讲课中，他用以下的话语讲述了无穷大数字的这个貌似矛盾的性质 ：

让我们想象一家有有限多个房间的旅馆，并假定所有的房间都住满了。结果来了一位新客人，想要一个房间。“对不起，”旅店老板说，“所有的房间都住满了。”现在让我们想象一个有无限多个房间的旅馆，而且所有的房间都住满了。后来也有一位新客人来到了这家旅馆，想要一个房间。

“当然没问题！”旅馆老板说道。他把原来住在房间N1的客人送进了房间N2，房间N2的客人送进了房间N3，房间N3的客人送进了房间N4，以此类推……由于这种变动，房间N1空出来了，新客人住了进去。

现在让我们想象一个有无限多个房间的旅馆，所有的房间都住满了，接着来了数目无限的新客人，要求住店。

“没问题，绅士们，”旅馆老板说，“请稍候。”

他把房间N1的客人送到了房间N2，房间N2的客人送进了房间N4，房间N3的客人送进了房间N6，以此类推。

现在所有奇数号房间都空出来了，无穷多个客人可以轻松愉快地住进去了。

好吧，希尔伯特描述的这种情况很不容易想象，在战争期间的华盛顿就更难了，但这个例子当然直指问题的核心，即在跟无穷大打交道的时候，我们会碰到一些与我们习惯的普通数学问题不同的性质。

遵照康托尔有关比较两个无穷大的规则，我们现在也可以证明，所有像3/7和735/8这类普通算术分数的数目与全体整数的数目相等。实际上，我们可以按照下面的规则安排所有普通分数：首先写下分子与分母之和为2的分数，这样的分数只有一个，就是1/1；然后是和为3的分数：1/2和1/2；下面是和为4的分数：3/1，2/2，3/1。以此类推，我们可以得到数目无限多的分数，包括我们可以想到的每一个分数（图5）。现在在这一序列的上面写下整数序列，我们可以在分数的无穷大和整数的无穷大之间得到一一对应关系。因此这两个无穷大的数目相等！

“好吧，这一切都天衣无缝，”你可能会说，“但这是不是就意味着所有的无穷大全都相等？如果确实如此，还有什么必要比较它们呢？”

不，情况并非如此，而且我们可以轻而易举地找到一些无穷大，它们大于全体整数或者全体分数数目的无穷大。

事实上，如果我们检查本章早些时候提出的一个问题，即比较一条线上所有点的数目和整数的数目的那个问题，我们就可以发现，这两个无穷大是不同的：一条线上的点的数目远远大于全体整数或者分数的数目。为了证明这个论点，让我们尝试以一条长度为1英寸的线段两端之间的点的数目为例，比较它与整个整数序列中的数的数目大小。

这个线段上的每个点的特征由它与线段的一个端点之间的距离表达，而这个距离可以写成一个无限小数的形式，如0.7350624780056…或者0.38250375632… 。于是我们就必须比较全体整数的数目和所有可能的无限小数的数目。上面给出的这些无限小数和普通算术分数如3/7或者8/277之间的差别何在呢？

你一定还记得你在算术课中学到的一项内容，即每一个普通分数都可以转化成一个无限循环小数。也就是2/3=0.66666…= ，3/7=0.428571|428571|428571|4…=0. 2857 。如上所证，全体普通算术分数的数目与全体整数的数目相等，所以，全体循环小数的数目必定也与全体整数的数目相等。但线段上的点并不一定是由循环小数代表的，而且在大多数情况下，我们可以得到一种无限小数，其中出现的各位数字没有任何周期性的重复。而且我们可以很容易地证明，在这种情况下无法做出任何对应安排。

假定有人声称他找到了这样一种对应安排，表达如下：

N

1 0.38602563078…

2 0.57350762050…

3 0.99356753207…

4 0.25763200456…

5 0.00005320562…

6 0.99035638567…

7 0.55522730567…

8 0.05277365642…

· …………

· …………

· …………

· …………

· …………

当然，因为实际上不可能写出无穷多个数字，让它们中每一个都有无穷多位小数，所以上面那人的断言必然意味着，这个表格的作者掌握了某种普遍规则（类似于我们用来安排普通分数的那种规则），根据这种规则，他构建了这份表格，而这种规则保证，任何一个小数迟早都会出现在这个表格中。

好的，我们现在可以毫不费力地证明，任何这类断言都是站不住脚的，因为我们总是可以写出一个不会出现在这个无限大表格之内的无限小数。我们怎样才能做到这一点呢？非常简单。只要写下一个小数，让它的第一位数与表中N1的不同，第二位与表中N2的不同，等等，就可以了。你写下的这个数看上去就像下面的这个数：

无论你沿着表格向下找多远，这个数字都不会出现在表格中。事实上，如果表格的作者告诉你，这个数字是这份表格里的第137个（或者任何其他数字）数字，你都可以立即回答：“不，它们不是同一个数字，因为你的这个小数的第137位与我心中的这个小数的第137位不同。”

因此，我们无法在一条线段上的点与整数之间建立一一对应关系，这就意味着，与全体整数或者全体分数相比，一条线段上的点的无穷大更大或者说更强。

我们刚刚讨论的是一条“1英寸长”的线段上的点的情况，但我们现在可以很容易地证明，根据我们的“无穷大算术”中的规则，对于任何长度的线段，这一讨论同样有效。事实上，无论线段的长度是一英寸、一英尺或者一英里，在它上面的点的数目都是一样多的。为了证明这一点，只要看图6即可，其中讨论了两条长度不同的线段 AB 和 AC 上的点的数目。为了在这两条线段上建立点与点之间的一一对应关系，我们可以过 AB 上每一点，画一条平行于 BC 的直线，这条直线与 AB 与 AC 相交的一对点就是一一对应的点，例如 D 与 D' ， E 与 E' ， F 与 F' 等。在 AB 上的每一个点都对应于在 AC 上的一个点，反之亦然。于是，根据我们的有关规则，可知这两个无穷大相等。

我们将在下面讲述另一个说法，其中包含的无穷大分析更加令人吃惊：在一个平面中的所有点的数目，等于在一条线段上所有点的数目。为了证明这一点，让我们考虑一条一英尺长的线段 AB 上的点，以及在一个正方形 CDEF 之内的点（图7）。

假定线段上某个点的位置可以通过某个数字给出，不妨称其为0.75120386…。我们可以根据这个数字确定两个不同的数字，分别由这个数字的偶数位和奇数位组成，于是我们得到了

0.7108…和0.5236…

分别在我们的正方形的水平方向和垂直方向量出这两段距离，由此确定的点的坐标为（0.7108…，0.5236…），我们把这个点叫作我们线段上原始点的“偶点”。反之，如果我们在正方形中有一个点，它的位置可以由两个数字描述，比如0.4835…和0.9907…，我们就可以按照同样的方法，把这两个数字组合成一个数字为0.49893057…，确定在线段上的对应“偶点”。

很显然，这样一个过程在两套点之间建立了一一对应关系。在线段上的每个点将在正方形内有自己的偶点，在正方形中的每个点将在线段上有自己的偶点，没有任何一个点漏掉。于是，按照康托尔的理论，在正方形内的所有的点的无穷大与在一条线段上点的无穷大相等。

同样，我们也可以证明，在一个立方体内所有点的无穷大与正方形或者线段上的所有点的无穷大相等。要做到这一点，我们只要把原来的小数分成三个部分 ，并用由此得到的三个新的小数来定义它在立方体中的“偶点”。而且，与两条不同长度的线段的情况相同，在一个正方形或者一个立方体内的点的数目将是一样的，无论它们有多大。

但是，尽管在几何形体内的全体几何点的数目多于全体整数和分数的数目，但它并不是数学家知道的最大数字。事实上，人们发现，所有可能的曲线类型，包括那些人们最不常见到的形状的曲线，它们的总数大于全体几何点的集合，因此必须把它视为无穷大中的第三个等级。

按照“无穷大算术”创始人康托尔的方法，可以用右下角带有一个小数字的希伯来字母ℵ（阿列夫）表示无穷大数字，这个小数字表示无穷大的等级。于是，数字（包括那些无穷大数字）的序列就是这样排列的：

1，2，3，4，5，…ℵ ₀ ，ℵ ₁ ，ℵ ₂ ，ℵ ₃ …

而且我们可以说，“在一条线段上有ℵ ₁ 个点”，或者“存在着ℵ ₂ 条不同的曲线”，就像我们说“世界分为七大洲”，或者“一副牌有54张纸牌”一样。

作为对我们关于无穷大数字的讨论总结，我们指出，这些数字不费吹灰之力就可以超过任何我们可以想到的可以应用的数字。我们知道，ℵ ₀ 代表全体整数的数目，ℵ ₁ 代表全体几何点的数目，而ℵ ₂ 代表全体曲线的数目，但迄今为止，还没有任何人有本事，想出任何确定的事物的无穷集合，其中成员的数目需要用ℵ ₃ 表示。似乎前三个无穷大数字已经足够使用，可以让我们数出我们想得到的任何事物的集合成员数了。于是，我们现在所处的位置便与霍屯督人完全相反，因为我们的这位老朋友有许多儿子，但他只能数到3。

---

[1] 按照我们的计数法，这个数字将是：一千万2级单位3级单位4级单位5级单位（10,000,000）x（10,000,000）x（10,000,000）x（10,000,000）x（10,000,000）x6级单位7级单位8级单位（10,000,000）x（10,000,000）x（10,000,000）或者简写为：10 ⁶³ ，即后面拖上63个零。

[2] 我们可以用下面的算式得出聪明的宰相要求的小麦颗粒数：1+2+2 ² +2 ³ +2 ⁴ +…+2 ⁶² +2 ⁶³ 。在数学中，人们称一系列按照同样的因数（这个粒子中的因数是2）递增的数字为几何级数。可以证明，这样一个级数中的各项和可以用如下方法计算：将常数因数（本例中为2）按照级数中的项数（本例中为64）乘方，减去第一项（本例中为1）然后除以上述常数因数减得到的差。这一过程可以写成：（2 ⁶³ ×2-1）/（2-1）=2 ⁶⁴ -1。计算所得的数字就是8,446,744,073,709,55,65。

[3] 如果我们只有7块圆盘，则需要的步骤数就是1+2 ¹ +2 ² +2 ³ +…+2 ⁶ ，即2 ⁷ -1=2×2×2×2×2×2×2-1=127。如果你的动作很快，也不出错，你将需要大约一小时来完成这一任务。如果有64块圆盘，则需要的步骤总数为2 ⁶⁴ -1=18 446 744 073 709 551 615，与达希尔要求获得的小麦粒数相等。 /ydMY4J59XkRctw7Ti0Bs6xqUyD+ikiU/gvq2ycE0hT03zENhsf+0kbGpJmXVi3Z