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第三节
对数值型资料特征的描述，除了描述集中趋势外，还必须描述离散趋势（dispersion）。离散趋势指标亦称变异性指标，是描述一组同质观测值变异程度大小的综合指标。它们不但反映研究指标数值的稳定性和均匀性，而且反映集中性指标的代表性。常用的离散趋势指标有极差（range）、四分位数间距（quartile range）、方差（variance）、标准差（standard deviation）以及变异系数（coefficient of variation）。
极差反映了全部数据的变化范围，记为 R ， R = X max - X min 。一般来讲，样本量相近的同类资料比较，极差越大，意味着数据间变异越大。反之，说明变异度小。极差反映离散趋势的大小，简单明了。但其缺陷是：①除最大值与最小值外，不能反映其他观察值的变异。②受样本量 n 大小的影响，一般来说，样本量 n 越大，抽到较大或较小的观察值的可能性越大，极差就有可能越大。③即使样本量 n 不变，极差的抽样误差也较大，即用极差反映离散趋势不稳定。
四分位数（quartile）是指百分位数 P 75 与 P 25 。对 P 75 而言，有25%（即四分之一）的观察值比它大，故称为上四分位数；对于 P 25 而言，有25%（即四分之一）的观察值比它小，故称为下四分位数。四分位数间距指上四分位数与下四分位数之差，即中间一半观察值的分布范围，符号为 Q （见式5-5）。其作用与极差相似，数值大，说明变异度大；反之，说明变异度小。
【例5-3】 利用例5-5数据计算四分位数间距。
按百分位数的计算步骤求解，分别求 P 75 与 P 25 ，则有：
四分位数间距反映离散程度的大小，受极端值的影响相对小，因此比极差稳定，但它仍没有利用所有数据的信息。实际工作中，四分位数间距和前面所述的中位数一样，常用于大样本偏态分布的资料、两端有不确定数值的开口资料及分布不明的资料的离散趋势描述，但不适合正态或近似正态分布资料离散趋势的描述。通常，四分位数间距和中位数配套来使用。
极差和四分位数间距由于没有充分利用所有观察值的信息，在应用时，可能会出现尽管两组数据的极差或四分位数间距相同，但它们的分布却不一样的情况。因此，描述对称分布，尤其正态分布资料的离散趋势时，需要利用所有观察值的信息来考察其离散度。对总体而言，即考察总体中每一观察值 X 与总体均数 μ 的离散度，可用 X-μ 表示，称离均差。但是， X-μ 有正有负，对于对称分布资料来说，其和∑（ X-μ ）恒为0，不能真正反映一批数据的离散度。为此，将 X-μ 平方后再相加，得∑（ X-μ ） 2 ，即离均差平方和，以全面反映一组数据的离散度。但∑（ X-μ ） 2 的大小除与变异度大小有关外，还受观察例数 N 大小的影响， N 越大，∑（ X-μ ） 2 就会越大，为消除这一影响，进一步将∑（ X-μ ） 2 除以 N 得总体方差，用符号 σ 2 表示。
式中，
μ
为总体均数，常常是未知的，需用样本量为
n
的样本均数
代替，
N
以样本含量
n
代替，这样计算的方差为样本方差。
数理统计证明，以 n 代替 N 计算的样本方差总比实际的 σ 2 小，以此样本方差估计总体方差总是有偏估计。后来，英国统计学家W.S.Gosset证明用（ n -1）代替 n 来校正，算得的样本方差估计总体方差即为无偏估计，因此，样本方差的分母是 n -1而不是 n 。样本方差用符号 S 2 表示，即
式中， n -1是自由度（degree of freedom， df ），记为 ν 。
如果是分组数据，计算方差时需要用组中值 m i 代替原始数值，并且要考虑每一组的频数。
方差的度量单位是原度量单位的平方，给实际应用带来不便。为此，将方差开平方得标准差。总体标准差用 σ 表示，样本标准差用 S 表示。
同样，如果是分组数据，计算标准差也要考虑组中值和频数。
标准差是统计学中应用最广泛的一个离散度指标，除了可以反映一组数据的变异度外，还可用于：①说明均数的代表性，标准差大，说明均数的代表性较差，反之，说明均数的代表性较好；②和均数一起制定医学参考值范围；③计算
t
值和变异系数等。标准差及方差也有其适用的资料类型，为对称分布资料，尤其是正态分布或近似正态分布资料。通常，
S
和
配套来使用，分别描述上述数据资料的离散趋势与集中趋势。
变异系数也称离散系数，是一组数据的标准差与其平均数之比，是对数据离散程度的相对度量代表值。前述的极差、四分位数间距及标准差都是有单位的，这不利于不同度量单位的资料之间离散度的比较。另外，方差和标准差都是反映数据分散程度的绝对值，因为离散程度受到数值本身水平高低（平均数）的影响，当比较两组或两组以上均数相差悬殊资料之间离散度时，方差或标准差就不能完全反映离散程度，变异系数则可克服这一缺点，它是一相对离散度指标，主要用于：①度量单位不同资料之间离散度的比较；②均数相差悬殊的资料之间离散度的比较。
变异系数记为 CV ，是标准差与均数之比，常用百分数表示，计算公式为：
【例5-4】 某研究收集了100例7岁男孩的身高和体重的资料，身高均数为123.10cm，标准差为4.71cm，体重均数为22.92kg，标准差为2.26kg，比较这100例7岁男孩的身高和体重的变异度。
身高
体重
可见，这100例7岁男孩的身高的变异度小于体重的变异度。