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代数学兴起于约4000年前的古巴比伦（位于现今的伊拉克境内）。因为古巴比伦人喜好书记，也因为他们用由砖石陶土做成的碑匾立柱来记录而流传下来，我们才得知这一切。
古巴比伦以空中花园闻名，如今已经尘归尘土归土。它的数学反而绵延更久。
古巴比伦文字是用一种形状特殊的尖笔刻在润湿的陶土上，然后印出的楔形图案。他们使用的这套书写系统如今被称为楔形文字，在多种文明中传承了千余年。古巴比伦人对文字很上心，现存有超过50万块的陶土碑匾。到了1860年，人们已经知道许多陶土碑匾上包含数字符号，但是仍未对之产生关注。
我们对古巴比伦数学家并不了解，但是有一个人的大名与楔形文字紧密相连，他就是奥地利数学家奥托·诺伊格鲍尔。正是此人解读了陶土上的算式，整合了古巴比伦代数，并在20世纪30年代和40年代以出版图书的方式告诉了人们他的发现。诺伊格鲍尔在德国生活，他的工作备受尊崇，是1933年哥廷根数学研究所最杰出的成果。然而，当他被要求宣誓效忠由纳粹党控制的政府之日，就立刻离职去国，先到丹麦，后到美国，去研究古巴比伦代数。
我们使用的是10进制系统，也就是说一个四位数比如2074表示2个千（没有百位数）、7个十和4个一。用10进制计数，我们只要用10个不同的字符（包括0）就可以了：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。
数完了这些，我们在数的左边加个1，再数10个数：10，11，12，…，19。
数完了这些，我们增大左边的1，再数10个数：20，21，…
我们推测10进制的由来是我们有10根手指，如果我们用它们来计数，超过10的时候就得用点别的什么东西。
但是，古巴比伦人可没有局限于10。他们使用60进制，不过他们的数字进制系统里没有0。
他们的数字进制系统是这样子的。
因为我们的数字进制系统与古巴比伦数字进制系统的渊源，如今，我们仍把1小时分成60分钟，1分钟分成60秒。
诺伊格鲍尔挖掘出的代数在某些方面还是相当先进的。古巴比伦数学家对勾股定理（参见 此处 ）已经熟稔，还会解二次方程（参见 此处 方框），尽管他们并没有任何形式的数学符号，甚至连等号都没有。他们的计算都是用文字和数字写出的，有点像密码。我们现在要想解出数学问题，可以将公式里的字母替换成适当的数，然后用计算器进行各种计算。在古巴比伦可完全不是这样。你可没有笔记簿，只有一摞刻着全套数学符号的石板。你得在上面找类似这个问题场景的题目，然后用自己的数按步骤进行替换。你可以自己做一些简单计算，但是像求平方和开平方这样的问题还得查这套板子。你还得搞一套乘法表。跟现在的小学生不同，他们的乘法表不用背诵啦：古巴比伦人用的可是60进制的数字系统哦，他们的乘法表有59行和59列哦！
15世纪的一本书上所绘的《圣经》中的巴别塔。这一类书阐述了如何计算基督教节庆的日期——使用古巴比伦代数。
这块古巴比伦楔形文字石板包含二次方程的247个问题。古巴比伦学生一定视力极佳。
第一步：把方程化为标准形式，也就是 ax 2 + bx + c =0的形式。所以，形如 x 2 +2 x =4+2 x 的方程要进行改写。
x 2 +2 x =4+2 x
两边同时减去2 x ，得 x 2 =4。
两边同时减去4，得 x 2 -4=0。
第二步：因式分解。
（ x +2）（ x -2）=0
第三步：选择 x 的取值，使得第一个括号里得零。
（-2+2）（-2-2）=0
也就是（0）（-4）=0，即 x =-2是方程的一个解。
第四步：选择 x 的取值，使得第二个括号里得零。
（2+2）（2-2）=0
也就是（4）（0）=0，即 x =2是方程的另一个解。
第五步：如果二次方程难于因式分解，那么可以使用 二次求根公式 。
求解7 x 2 +3 x -11=0，得
即
也就是 x ≈-1.486或者 x ≈1.057。
古巴比伦数学有个古怪之处，模板只给出了答案，没指出从哪儿入手解读。所以，学生都得掌握如何针对手头的问题选择合适的案例。因为古巴比伦人没有负数的概念，所以他们假定本来有多个解的二次方程只有唯一解。
一个典型的古巴比伦问题是这样的：“矩形的长比宽多10，面积是600，那么长和宽各是多少？”（古巴比伦人本来用的是60进制，这里已经改写成10进制了。）
现在，我们这样列式子。
然后进行求解。
改写（1）式
x =10+ y
代入（2）式
（10+ y ） y =600
展开
10 y + y 2 =600
化成二次方程的标准形式
y 2 +10 y -600=0
用标准二次求根公式（参见 此处 ），代入 a =1， b =10， c =-600可得
也就是
y =–30， x =–20
或
y =20， x =30
然而，古巴比伦人是套用他们的案例模板来解决的。他们是这样做的。
长和宽的差距是多少？（10）
折半（5）
平方（25）（古巴比伦学生利用平方根表查找）
加上面积（625）
开方（25）（译者注：矩形边长取正值）
这个平方根加上长宽差值的一半就是长（30），减去长宽差值的一半就是宽（20）。
古巴比伦的建筑和工程根源于先进的数学知识，因此才有了坚固而宏伟的建筑。
吉萨金字塔展现出了古埃及人对数学的把握。
在古巴比伦之前的数千年里，有许多先进文明可圈可点，然而就我们所知，无人可望古巴比伦之项背。古巴比伦数学的一个便利之处在于，他们使用自己发明的进位制数字系统，这就胜过了早期（和若干晚期）文明。进位制就是指符号根据它的位置可以取不同的值。我们现在使用的数字系统也是进位制的。246，426和642这几个数的含义完全不同，尽管它们用的数码是一样的。我们之所以可以“解码”，是因为我们知道每个数位的含义：首位是“百”，次位是“十”，末位是“一”。这样下来，阅读和计算数字都很便捷。古巴比伦数学家怎样计算数字已不可考。就我们所知，他们是没有含变量的通解这一概念的。所以对他们而言，方框里的（1）式和（2）式没有意义。所以，虽然说他们熟悉勾股数（又叫毕氏三元数，即满足 a 2 + b 2 = c 2 的整数组，比如3，4，5和5，12，13），在他们的“文档”里也包含了这样的一些例子，但距离人们能用一个简洁的公式表达这个思想，还有几个世纪之遥啊。
毕达哥拉斯以他的著名公式整合了3，4，5（参见 此处 ）。
参见：
► 代数学东渐