引言

代数学与微积分在数学里人气寥寥，这么说是毫不夸张的。我们中好多人在最初翻阅数学教科书时，都对着整行整行的文字和符号目瞪口呆。所惊之处，乃是学生问得最多的两个问题。

1. 这都是什么意思？

代数学与微积分都曲高和寡，乏人问津，至少它们的核心是如此。用数字做算术耳熟能详，用图表做几何一目了然，但代数学与微积分跟这些不同，它们大量使用字母和符号的组合，在我们的日常生活中可不多见。

2. 这都是要干嘛？

《成为微积分百万富翁》或者《驾驭代数探索太阳系》，有这样耸人听闻的标题的读物在书架上少之又少。我们即使通读代数学与微积分书上的内容，也不一定能搞懂其用途。本书每章的标题也不像小说的那么引人入胜。积分呀，逆命题呀，因式分解呀，还有微分方程呀，它们可不是让我们迫不及待想读下去的那种妙词儿吧。

回答

本书就是要完完整整地回答以上两个问题，但是现在我们先回答一部分。

在某种意义上，代数学是一种语言，但是跟我们日常所用的文字语言不同。代数学已经经历了几个世纪的演进，只为这个目的：解释，分析，从包括工程、物理和经济在内的生活的方方面面解决疑难问题。当然，我们也可以用文字语言来讨论这些问题，但是用数学语言更精准。代数学的语言比文字语言更确切，微积分的语言亦然。

我们可能要回答这样的问题：“我想去1千米以外的新游泳池游泳，但是得在2小时之内回来。那还值得一去吗？”使用代数学的方法，我们可以得到下面这个方程。

t _去程 + t _更衣 + t _游泳 + t _{擦干并更衣} + t _返程 =2小时

面对疑难的方程，我们首先要做的就是化简。假设路上往返花费的时间一样（ t _去程 = t _返程 ），要是抓紧点儿，游泳前后更衣的时间也一样（ t _更衣 = t _{擦干并更衣} ），我们就可以将之简化为

2 t _路上 +2 t _更衣 + t _游泳 =2小时

首先考虑 t _路上 。如果人每小时走3千米，游泳池在1千米以外，那么我们就可以解出 t _路上 是多少。怎么解？这个嘛，走得越远，时间越长啊。我们可以用代数学的形式将它写成 路上时间∝距离 ，也就是说“路上时间与距离成正比”。简而言之，我们可以将上面的问题简化为 t ∝ d 。但是，我们要考虑的当然不只是距离，还有速度。走得越快，花费的时间越短。这个写作 t ∝1/ v ，也就是说“路上时间与速度成反比”。

想想为什么这里写成分数。考虑下面这串分数：1/2，1/3，1/4，1/5，1/6，它们从左到右越来越小，因为分数线下面的分母越来越大。也就是说，分数的大小跟分数线下的分母成反比。

因此，我们有： t ∝ d 和 t ∝1/ v 。

因为路上时间仅与这两者有关，所以我们可以将之合并到一个公式里

t = d / v

已知 d =1千米， v =3千米/小时，可以将之代入公式里。这里的 d 和 v 称为变量，它们可以用数值代入，具体的数值随问题而异。计算可得， t _路上 =1/3小时。如果更衣的时间是一刻钟，那么 t _更衣 =1/4小时。

我们把这些值代入方程2 t _路上 +2 t _更衣 + t _游泳 =2小时中，即得2/3小时+2/4小时+ t 游泳=2小时。

1小时的2/3是40分钟，1小时的2/4就是1/2小时，也就是30分钟。既然前面的单位都是分钟，我们把2小时也换算成分钟，就得到40分钟+30分钟+ t _游泳 =120分钟，也就是70分钟+ t _游泳 =120分钟。显而易见， t _游泳 是50分钟，这是两边都减去70分钟得来的：70分钟-70分钟+ t _游泳 =120分钟-70分钟。

因此， t _游泳 =50分钟。

这就是代数学，解决形形色色问题的神兵利器。日常题目类似上文，更有大矣哉的问题，比如在星星等大质量的物体附近时间会变慢多少。

t ₀ 就是在物体附近测量到的时间， t _f 就是在远处测量到的时间， G 是一个常数（常数就是在计算中保持不变的数）， M 是物体的质量， r 是测量 t ₀ 时到物体的距离， c 是光速。

微积分又是怎么回事？

微积分是科学家、工程师和经济学家把握世界的关键之道。

在上文的例子中，我们得出了在给定速度下到达某处所花费的时间。速度是位移的变化率。变化乃是自然的内涵。经济、星辰、交通、人口……皆随时间变化，我们需要合适的数学工具来把握它们，这个工具就是微积分。艾萨克·牛顿是微积分的发明者之一，发明它是为了将之当作一种工具，精确地计算行星和彗星的位移、速度以及重力影响下的运行轨迹。

然而，代数学和微积分并非实战的真刀真枪。我们的宇宙与数学以同样的规律运转，冥冥之中无人知晓。数学家定义了许多概念，竟与现实恰巧相合（比如虚数，参见 此处 ）。所以说，数学确确实实是我们参透宇宙奥妙的关键。