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第一次听牛献礼老师的课，是在北国冰城哈尔滨的一次培训会上。时值隆冬，雪花纷飞，但在牛老师极具亲和力的课堂上，我感到冷静的数学思考也可以给学生带来暖暖的学习幸福感，并为此感到震撼。后来，在不断的学习中，我逐渐感悟到，在牛老师的课堂上，学生总会深入思考，师生互动也精彩纷呈。这绝不仅仅来自学生个性思维的张扬，很大程度上也源于牛老师科学理念下的有效设计、恰当的引导与精彩的点拨。既尊重学生的主体地位，也绝不丢弃教师引领的权杖，好似一对“隐形的翅膀”，使课堂总能在精彩的生成中凸显数学课堂的教学本质。
教学五年级上册“数字编码”一课时，牛老师站在学生的立场，合理改变教材例题的顺序，以一首数字诗引入，拓展学生对数字的认识，体会编码可以用来传递信息；再通过设计学号的探究活动，感受编码规则及传达的信息；接着，巧妙地引领学生体验身份证号码的信息与结构，体会编码的思想。一起赏析有关身份证号码的教学片段：
师：（出示3个身份证号码）淘气收集了自己和爸爸、妈妈的身份证号码，你能猜出哪一个是淘气的身份证号码吗？
（出示：330***20010312****；330***19750121****；330***19740928****）
生：我一看就知道是第1个号码，因为第7位到第14位表示的是他的出生年月日，他出生在2001年3月12日。
师：大家能说出其他两个人的出生日期吗？
生：第二个人是1975年1月21日出生，第三个人是1974年9月28日出生。
师：你能分辨出另两个身份证号码，哪个是爸爸的，哪个是妈妈的吗？
生：第二个是爸爸的，因为它倒数第二个数字是“3”，是奇数；第三个是妈妈的，倒数第二个数字是6，是偶数。
生：我还发现，妈妈比爸爸大1岁。
师：淘气身份证号码的最后一位是什么？校验码是按照公式计算出来的，只可能是0—10中的一个数字。如果算出的结果是10，这是一个两位数，为了保证身份证号码的总数是18位，就用罗马数字“X”代表10，因此有的身份证号码的最后一位是“X”。
生：哦，我明白了，这个“X”不是x，而是罗马数字“10”的意思。
师：对，这就是编码的规范性，要保证所有的身份证号码都是18位。我觉得身份证号码太长了，能不能更简洁一点儿呢？
生：不行，我们国家人口太多了，有接近14亿人呢。
师：现在18位的身份证号码，是能够想到的最简单的办法了。过去的身份证号码中的年份使用两位数，没有校验码，所以都是15位，后来变成了18位，知道是为什么吗？教师来介绍“千年虫”问题。（略）
师：是不是挺可怕的？除了刚才谈到的大事，还会涉及一些小事。1999年在美国就发生了一件好笑的事：堪萨斯州一位105岁（1894年出生）的老太太，突然收到户籍机构发出的幼儿园入学通知单……（众生大笑）
在教学过程中，牛老师没有直接告诉学生怎样区分三个身份证号码，但一直在有效地追问，在学生的认知生长点上质疑，引领学生理解身份证编码的结构信息。在极富挑战性的问题驱动下，学生主动地尝试着、思考着，认识水平得以不断发展。他成功地借助已有知识经验，去“再发现”，从而使学习活动成为一个主动、富有个性的过程。同时，抽象出编码模型后，在进一步解释与应用的过程中深化对编码模型的理解，进行了有效迁移。自然幽默是牛老师课堂上一段必奏的插曲，新奇的数学史料和信息也是不可或缺的和谐音符。牛老师精心准备这些史料，目的是开阔学生视野，让他们感受数学与生活的密切联系，体会数学的力量，深化理解本节课内容。可见，学生对新知的理解不是浮于表面，而是在体验中沦肌浃髓。
牛老师的课堂处处体现对学生思维有序性和全面性的培养。他的课堂价值就在于用心驾驭教师与学生这对“隐形的翅膀”，让学生的思维和心灵自由飞翔，追求数学求真、求简、求美的魅力。
（黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区人民小学 张宇）