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欧几里得宣言

公元前300年左右,在地中海的南部海岸、靠近亚历山大城的尼罗河以西,住着一名学者,他的工作可以与《圣经》相提并论。他的方法影响了哲学的发展,并定义了19世纪前的数学本质。他的工作成果成为当时高等教育不可或缺的内容,至今仍然如此。中世纪欧洲文明的复兴得益于对此人工作的重建。

斯宾诺莎效仿他。 亚伯拉罕·林肯研究他。康德为他辩护。

这个人的名字叫欧几里得。人们对他的一生几乎一无所知。他吃橄榄吗?他看戏剧吗?他是高还是矮?历史难以回答这些问题。我们所知道的是, 他在亚历山大城开办了一所学校,有才华横溢的学生,对唯物主义不屑一顾,似乎是个很好的人,至少写了两本书。其中一本已然失传的书是关于圆锥曲线的,研究一个平面和一个圆锥的交点产生的曲线,这成了阿波罗尼奥斯(Apollonius)后来重大工作的基础, 极大地促进了航海学和天文学的发展。

他的另一本著作《几何原本》是有史以来人们最广为阅读的“书”之一。《几何原本》有着类似电影《马耳他之鹰》( The Maltese Falcon )一样曲折的历史。 首先,它实际上不是一本书,而是一套13卷的羊皮纸。这些原始版本没有一个幸存下来,即便后来的一系列版本流传下来,但在黑暗时代几乎完全消失。欧几里得作品的前四卷并不是原始的《几何原本》,而是一位叫希波克拉底(Hippocrates)的学者(不是那个同名的希腊医生)在公元前400年写的一部作品,也叫《几何原本》( Elements ),人们认为这大部分就是欧几里得作品中的内容。

《几何原本》中收集的内容都没有经过授权,欧几里得没有声明所有定理的原创性。他认为他的角色是组织和系统化希腊人对几何学的理解。他最先通过纯粹思维来全面描述二维空间的性质,丝毫不涉及物理世界。

欧几里得《几何原本》最重要的贡献在于其创新性的逻辑推理方法:首先,通过写下精确的定义来明确术语概念,从而确保对所有词语和符号的一致理解。接下来,通过阐明明确的公理或假设(这些术语是可互换的)来明确概念,避免使用未声明的理解或假设。最后,推导出系统的逻辑结果,只采用公认的逻辑规则,作用在公理和之前证明的定理上。

挑剔,挑剔,再挑剔。为什么要坚持证明每一个微小的断言?不像普通的高楼大厦,数学是一座直线型的大厦,只要一块数学砖头腐朽就会倒塌。无论任何谬误进入数学体系,即使是最无害的,都会使整座大厦变得不可信。你就不能相信任何东西。

事实上,一个定理指出, 如果任何错误的定理被允许进入一个逻辑系统,无论是关于什么的,你都可以用它来证明1等于2。据传说,一个怀疑论者曾把逻辑学家伯特兰·罗素(Bertrand Russell)逼入绝路,试图攻击这个涵盖一切的定理(尽管实际上他说的是相反的)。“好吧,”怀疑者说,“如果我允许1等于2成立,请证明你是教皇。”据说罗素思考了很短时间就回答说:“教皇和我是两个人,因此教皇和我是一体的。”

证明每一个断言都意味着,特别是直觉这种东西,尽管能提供价值的指引,但必须通过证明这一道门槛。“直觉上很明显”这句话在证明中并不是正当的理由。我们都太容易犯错了。

想象一下,沿着地球赤道滚一个纱线球,一共有25000英里。现在想象在赤道上方一英尺做同样的事情,你需要增加多少纱线——500英尺还是5000英尺?

让我们更容易看明白一点。想象一下,再滚两个球,这一次在太阳表面,另一个在太阳表面之上1米。你必须在哪个球上加更多的纱线,地球还是太阳?直觉告诉我们是太阳,但答案是,二者增加长度相等,都是2π米,或者大约6.3米。

很久以前有个叫“我们做交易”(Let’s Make a Deal)的电视节目。参赛者面对3个被窗帘遮住的台面。一个台面放着贵重物品,比如一辆汽车;另两个是安慰奖。让我们假设选手选了第二个台面,然后,主人会打开未被选择的台面,例如台面三。假设台面三是一个安慰奖,那么真正的奖品在台面一或者你选择的台面上。这时主持人会问你是否愿意改变选择,在这里是,选择台面一而不是台面二。你会怎么做?从直觉上看,不管怎样,你的机会都是一样的。如果你没有其他信息,那确实如此,但你有你先前选择的历史和主持人的行为的信息。仔细分析你最初选择的所有可能性,或者应用恰当的公式,称为贝叶斯公式 3 ,将提示你改变选择获得奖品的概率更大。有许多数学上的例子表明直觉失效,只有从容按照步骤推理才能揭示真相。

精确是数学证明中要求的另一个属性。一个观察者可以测量单位正方形的对角线长为1.4,或者改进他的仪器,得到1.41。虽然我们可能会认为近似值已经足够好,但这样的近似值永远不会具有革命性的洞察力——长度是无理数。

微小的量变可以导致巨大的质变。以买州彩票(state lottery)为例,满怀希望的失败者常常耸耸肩说:“如果你不买,你就不会赢。”这当然是对的。但同样正确的是,在中奖概率是百分之零点几的情况下,无论你买不买彩票,赢的机会都很小。如果彩票委员会宣布决定将赢的几率从0.00001降到零,会发生什么?这是一个小小的改变,但会对他们的收入产生巨大影响。

保罗·库里,一个住在纽约的业余魔术师,发明了一个诡计, 为此提供了一个很好的几何例子。拿一张正方形的纸,画7×7格的小方格。将大正方形切成5块,然后将它们重新排列成如图所示(见P 23)。其结果是一个“正方形甜甜圈”(a square donut),与原来的正方形大小一样,但中间却有一个小正方形不见了。失踪的区域发生了什么事?这是否证明了一个定理,先前的正方形和甜甜圈具有相同的面积?

答案是,当5块重新拼接在一起时,就会有一些重叠,所以这张图有点欺骗意味,或者说是一个近似。排在最上面的第二个方块的高度稍微高一些,所以这个大的正方形比原来的高了1/49,正好可以用来解释丢失方块的面积。但如果我们被限制以2%的精度去测量长度,我们就不能区分二者的细微差别,从而得出诡异的结论,认为先前的正方形和甜甜圈正方形面积相等。

保罗·库里的诡计

这样的小偏差在实际的空间理论中起作用吗?阿尔伯特·爱因斯坦广义相对论的主要思想是革命性的弯曲空间理论,它与经典牛顿理论的区别就在水星的近日点位置有所偏离 。根据牛顿力学,行星在完美的椭圆轨道上运动。一个行星离太阳最近的点叫做近日点,如果牛顿理论是正确的,那么行星每年绕太阳公转将会回到相同的近日点。

1859年,奥本·尚·约瑟夫·李维里尔(Urbain Jean Joseph Leverrier)在巴黎宣布,他发现水星近日点实际上是有微小移动的,当然移动距离没有很明显的影响——大约每过1世纪相差38秒距离。然而,这种偏离必然有原因。李维里尔称其为“一个严重的困难,值得天文学家们注意。”1915年,爱因斯坦发展的理论足够计算水星的轨道,他的发现这与微小偏差相一致。根据一位传记作家亚伯拉罕·派斯(Abraham Pais)的说法,这是“他的科研生活中的高潮。他太激动了,三天都不能工作。”尽管这偏离很微小,却表明经典物理的不适用性。

欧几里得的目标是,构建一个系统,可以不受基于直觉得出的假设的影响,不受猜测和不精确性的干扰。他给出了23个定义, 5个几何公设,还有5个他称之为“公理”(common notions)的另外的公设。在此基础上,他证明了465个定理——基本上就是他所处时代的所有几何知识。

欧几里得的定义包括了点(point),线(line)(在他的定义中可以是曲线),直线(straight line),圆(circle),直角(right angle),表面(surface)和平面(plane)。他非常精确地定义这些术语。他写道,平行线是“同一平面上的两条直线,两端延伸至无限长,并在任何一端都不相交。”他写道,圆是“一个由一条线(即曲线)包围的平面图形,并且所有经过圆心(位于图形中心)的直线被该图形切成的两部分相等。”对于直角,欧几里得写道:“在一条直线上作一条直线,它们的交角全相等,那么每个相等的交角都是直角。”

欧几里得的一些其他的定义,如对点和线的定义,是模糊且几乎无用的:一条直线是“点在上面均匀分布。”这个定义可能来自于建筑行业,通过闭上眼睛和延伸线的长度来检查线是否直。要理解它,你脑子里得先有一条线的图像。一个点是“不能分成部分的东西”,另一种定义是“边界对它来说毫无意义”。

欧几里得的公理更为优雅。它们被认为是常识的非几何学的逻辑命题, 不同于之前那些几何意义明确的假设。这是他和亚里士多德的区别。通过明确地表达这些凭直觉的假设,他实际上增加了假设,但他显然觉得有必要将他们与纯粹的几何公设区分开来。以下是他深度思考过认为有必要表达的陈述:

1.等于同量的量彼此相等。

2.等量加等量,其和仍相等。

3.等量减等量,其差仍相等。

4.彼此能够重合的物体是全等的。

5.整体大于部分。

有了这些准备之后,欧几里得几何学的几何基础部分是他的5个公设。前4个很简单,可以用一种优雅而明确的语言来描述。用现代语言来描述,它们是:

1.任意两个点可以通过一条直线连接。

2.任意线段能无限延长成一条直线。

3.给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该线段作为半径作一个圆。

4.所有直角都全等。

公设1和2似乎与我们的经验相符合。我们知道如何从点到点画一条线段,而且不会因为空间有限而阻止我们扩展线段。公设3有些微妙,部分暗示了空间距离是这样定义的,当我们把线段从一处移动到另一处的时候,线段的长度不会改变。公设4看起来简单明了。要理解它的精妙之处,请回忆一下直角的定义:它是两条直线相交,当两侧角度相等时的角度。我们已见过多次:一条线垂直于另一条线,交点两侧的角度都是90度。但定义本身并不能说明这一点,它甚至没有规定角度的度量值总是相同的。我们可以想象一个世界,如果直线相交于某个点,那么该角度可能等于90度,但如果它们相交于其他地方,则角度等于另一个数。所有直角都全等的公设保证了这种情况不会发生。从某种意义上说,这也意味着一条直线沿着延伸方向的长度是一样的,是一种完全笔直的状态。

欧几里得的公设5叫平行公设(parallel postulate),听起来不那么明显直观。它是欧几里得自己的发明,而不是他所记录的知识的一部分。然而,他显然不喜欢这种假设,并似乎尽可能避免使用这种假设。后来的数学家们也不喜欢它,觉得它作为一个公设不够简单,应该作为一个可以证明出的定理。

在此,公设5的表达接近欧几里得的原作:

5.若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角和,则这两条直线在这一边必定相交。

平行公设(如下图所示)给出了判定两条共面直线是相交、平行还是分离的标准。画一张图比较容易理解。

欧几里得的平行公设

平行公设有很多不同版本的等价描述。其中一个描述空间非常清晰的是说:

给定一条直线,通过此直线外的任何一点,有且只有一条直线与之平行。

违背平行公设可以有两种方式:“不存在平行线”;或者“通过一点存在多于一条平行线”。

在一张纸上画一条线,在线外画一个点。你是否可以在点上画一条平行线?是否可以画多于一条平行线?平行公设能否描述我们的世界?一个几何图形如果违反了以上定理,是否在数学上依然有自洽性?最后两个问题最终导致了思想上的革命,前者让我们对宇宙的看法有了改变,后者对我们对数学性质和意义的理解产生了影响。但在2000年里,几乎没有其他任何领域的人类知识能比欧几里得的公设所表达的“事实”更被普遍接受,大家都认为,(过直线外一点)只有一条平行线存在。 bXnkyiHXtpd1WFQHM2eAf807AAKCd8A84I3krNS0mHhIvlh/oxuo5KPhtsMOLC3y

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