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公元前300年左右，在地中海的南部海岸、靠近亚历山大城的尼罗河以西，住着一名学者，他的工作可以与《圣经》相提并论。他的方法影响了哲学的发展，并定义了19世纪前的数学本质。他的工作成果成为当时高等教育不可或缺的内容，至今仍然如此。中世纪欧洲文明的复兴得益于对此人工作的重建。
斯宾诺莎效仿他。
亚伯拉罕·林肯研究他。康德为他辩护。
这个人的名字叫欧几里得。人们对他的一生几乎一无所知。他吃橄榄吗？他看戏剧吗？他是高还是矮？历史难以回答这些问题。我们所知道的是，
他在亚历山大城开办了一所学校，有才华横溢的学生，对唯物主义不屑一顾，似乎是个很好的人，至少写了两本书。其中一本已然失传的书是关于圆锥曲线的，研究一个平面和一个圆锥的交点产生的曲线，这成了阿波罗尼奥斯（Apollonius）后来重大工作的基础，
极大地促进了航海学和天文学的发展。
他的另一本著作《几何原本》是有史以来人们最广为阅读的“书”之一。《几何原本》有着类似电影《马耳他之鹰》（
The Maltese Falcon
）一样曲折的历史。
首先，它实际上不是一本书，而是一套13卷的羊皮纸。这些原始版本没有一个幸存下来，即便后来的一系列版本流传下来，但在黑暗时代几乎完全消失。欧几里得作品的前四卷并不是原始的《几何原本》，而是一位叫希波克拉底（Hippocrates）的学者（不是那个同名的希腊医生）在公元前400年写的一部作品，也叫《几何原本》（
Elements
），人们认为这大部分就是欧几里得作品中的内容。
《几何原本》中收集的内容都没有经过授权，欧几里得没有声明所有定理的原创性。他认为他的角色是组织和系统化希腊人对几何学的理解。他最先通过纯粹思维来全面描述二维空间的性质，丝毫不涉及物理世界。
欧几里得《几何原本》最重要的贡献在于其创新性的逻辑推理方法：首先，通过写下精确的定义来明确术语概念，从而确保对所有词语和符号的一致理解。接下来，通过阐明明确的公理或假设（这些术语是可互换的）来明确概念，避免使用未声明的理解或假设。最后，推导出系统的逻辑结果，只采用公认的逻辑规则，作用在公理和之前证明的定理上。
挑剔，挑剔，再挑剔。为什么要坚持证明每一个微小的断言？不像普通的高楼大厦，数学是一座直线型的大厦，只要一块数学砖头腐朽就会倒塌。无论任何谬误进入数学体系，即使是最无害的，都会使整座大厦变得不可信。你就不能相信任何东西。
事实上，一个定理指出，
如果任何错误的定理被允许进入一个逻辑系统，无论是关于什么的，你都可以用它来证明1等于2。据传说，一个怀疑论者曾把逻辑学家伯特兰·罗素（Bertrand Russell）逼入绝路，试图攻击这个涵盖一切的定理（尽管实际上他说的是相反的）。“好吧，”怀疑者说，“如果我允许1等于2成立，请证明你是教皇。”据说罗素思考了很短时间就回答说：“教皇和我是两个人，因此教皇和我是一体的。”
证明每一个断言都意味着，特别是直觉这种东西，尽管能提供价值的指引，但必须通过证明这一道门槛。“直觉上很明显”这句话在证明中并不是正当的理由。我们都太容易犯错了。
想象一下，沿着地球赤道滚一个纱线球，一共有25000英里。现在想象在赤道上方一英尺做同样的事情，你需要增加多少纱线——500英尺还是5000英尺？
让我们更容易看明白一点。想象一下，再滚两个球，这一次在太阳表面，另一个在太阳表面之上1米。你必须在哪个球上加更多的纱线，地球还是太阳？直觉告诉我们是太阳，但答案是，二者增加长度相等，都是2π米，或者大约6.3米。
很久以前有个叫“我们做交易”（Let’s Make a Deal）的电视节目。参赛者面对3个被窗帘遮住的台面。一个台面放着贵重物品，比如一辆汽车；另两个是安慰奖。让我们假设选手选了第二个台面，然后，主人会打开未被选择的台面，例如台面三。假设台面三是一个安慰奖，那么真正的奖品在台面一或者你选择的台面上。这时主持人会问你是否愿意改变选择，在这里是，选择台面一而不是台面二。你会怎么做？从直觉上看，不管怎样，你的机会都是一样的。如果你没有其他信息，那确实如此，但你有你先前选择的历史和主持人的行为的信息。仔细分析你最初选择的所有可能性，或者应用恰当的公式，称为贝叶斯公式 3 ，将提示你改变选择获得奖品的概率更大。有许多数学上的例子表明直觉失效，只有从容按照步骤推理才能揭示真相。
精确是数学证明中要求的另一个属性。一个观察者可以测量单位正方形的对角线长为1.4，或者改进他的仪器，得到1.41。虽然我们可能会认为近似值已经足够好，但这样的近似值永远不会具有革命性的洞察力——长度是无理数。
微小的量变可以导致巨大的质变。以买州彩票（state lottery）为例，满怀希望的失败者常常耸耸肩说：“如果你不买，你就不会赢。”这当然是对的。但同样正确的是，在中奖概率是百分之零点几的情况下，无论你买不买彩票，赢的机会都很小。如果彩票委员会宣布决定将赢的几率从0.00001降到零，会发生什么？这是一个小小的改变，但会对他们的收入产生巨大影响。
保罗·库里，一个住在纽约的业余魔术师，发明了一个诡计，
为此提供了一个很好的几何例子。拿一张正方形的纸，画7×7格的小方格。将大正方形切成5块，然后将它们重新排列成如图所示（见P 23）。其结果是一个“正方形甜甜圈”（a square donut），与原来的正方形大小一样，但中间却有一个小正方形不见了。失踪的区域发生了什么事？这是否证明了一个定理，先前的正方形和甜甜圈具有相同的面积？
答案是，当5块重新拼接在一起时，就会有一些重叠，所以这张图有点欺骗意味，或者说是一个近似。排在最上面的第二个方块的高度稍微高一些，所以这个大的正方形比原来的高了1/49，正好可以用来解释丢失方块的面积。但如果我们被限制以2%的精度去测量长度，我们就不能区分二者的细微差别，从而得出诡异的结论，认为先前的正方形和甜甜圈正方形面积相等。
保罗·库里的诡计
这样的小偏差在实际的空间理论中起作用吗？阿尔伯特·爱因斯坦广义相对论的主要思想是革命性的弯曲空间理论，它与经典牛顿理论的区别就在水星的近日点位置有所偏离
。根据牛顿力学，行星在完美的椭圆轨道上运动。一个行星离太阳最近的点叫做近日点，如果牛顿理论是正确的，那么行星每年绕太阳公转将会回到相同的近日点。
1859年，奥本·尚·约瑟夫·李维里尔（Urbain Jean Joseph Leverrier）在巴黎宣布，他发现水星近日点实际上是有微小移动的，当然移动距离没有很明显的影响——大约每过1世纪相差38秒距离。然而，这种偏离必然有原因。李维里尔称其为“一个严重的困难，值得天文学家们注意。”1915年，爱因斯坦发展的理论足够计算水星的轨道，他的发现这与微小偏差相一致。根据一位传记作家亚伯拉罕·派斯（Abraham Pais）的说法，这是“他的科研生活中的高潮。他太激动了，三天都不能工作。”尽管这偏离很微小，却表明经典物理的不适用性。
欧几里得的目标是，构建一个系统，可以不受基于直觉得出的假设的影响，不受猜测和不精确性的干扰。他给出了23个定义，
5个几何公设，还有5个他称之为“公理”（common notions）的另外的公设。在此基础上，他证明了465个定理——基本上就是他所处时代的所有几何知识。
欧几里得的定义包括了点（point），线（line）（在他的定义中可以是曲线），直线（straight line），圆（circle），直角（right angle），表面（surface）和平面（plane）。他非常精确地定义这些术语。他写道，平行线是“同一平面上的两条直线，两端延伸至无限长，并在任何一端都不相交。”他写道，圆是“一个由一条线（即曲线）包围的平面图形，并且所有经过圆心（位于图形中心）的直线被该图形切成的两部分相等。”对于直角，欧几里得写道：“在一条直线上作一条直线，它们的交角全相等，那么每个相等的交角都是直角。”
欧几里得的一些其他的定义，如对点和线的定义，是模糊且几乎无用的：一条直线是“点在上面均匀分布。”这个定义可能来自于建筑行业，通过闭上眼睛和延伸线的长度来检查线是否直。要理解它，你脑子里得先有一条线的图像。一个点是“不能分成部分的东西”，另一种定义是“边界对它来说毫无意义”。
欧几里得的公理更为优雅。它们被认为是常识的非几何学的逻辑命题，
不同于之前那些几何意义明确的假设。这是他和亚里士多德的区别。通过明确地表达这些凭直觉的假设，他实际上增加了假设，但他显然觉得有必要将他们与纯粹的几何公设区分开来。以下是他深度思考过认为有必要表达的陈述：
1.等于同量的量彼此相等。
2.等量加等量，其和仍相等。
3.等量减等量，其差仍相等。
4.彼此能够重合的物体是全等的。
5.整体大于部分。
有了这些准备之后，欧几里得几何学的几何基础部分是他的5个公设。前4个很简单，可以用一种优雅而明确的语言来描述。用现代语言来描述，它们是：
1.任意两个点可以通过一条直线连接。
2.任意线段能无限延长成一条直线。
3.给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4.所有直角都全等。
公设1和2似乎与我们的经验相符合。我们知道如何从点到点画一条线段，而且不会因为空间有限而阻止我们扩展线段。公设3有些微妙，部分暗示了空间距离是这样定义的，当我们把线段从一处移动到另一处的时候，线段的长度不会改变。公设4看起来简单明了。要理解它的精妙之处，请回忆一下直角的定义：它是两条直线相交，当两侧角度相等时的角度。我们已见过多次：一条线垂直于另一条线，交点两侧的角度都是90度。但定义本身并不能说明这一点，它甚至没有规定角度的度量值总是相同的。我们可以想象一个世界，如果直线相交于某个点，那么该角度可能等于90度，但如果它们相交于其他地方，则角度等于另一个数。所有直角都全等的公设保证了这种情况不会发生。从某种意义上说，这也意味着一条直线沿着延伸方向的长度是一样的，是一种完全笔直的状态。
欧几里得的公设5叫平行公设（parallel postulate），听起来不那么明显直观。它是欧几里得自己的发明，而不是他所记录的知识的一部分。然而，他显然不喜欢这种假设，并似乎尽可能避免使用这种假设。后来的数学家们也不喜欢它，觉得它作为一个公设不够简单，应该作为一个可以证明出的定理。
在此，公设5的表达接近欧几里得的原作：
5.若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。
平行公设（如下图所示）给出了判定两条共面直线是相交、平行还是分离的标准。画一张图比较容易理解。
欧几里得的平行公设
平行公设有很多不同版本的等价描述。其中一个描述空间非常清晰的是说：
给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条直线与之平行。
违背平行公设可以有两种方式：“不存在平行线”；或者“通过一点存在多于一条平行线”。
在一张纸上画一条线，在线外画一个点。你是否可以在点上画一条平行线？是否可以画多于一条平行线？平行公设能否描述我们的世界？一个几何图形如果违反了以上定理，是否在数学上依然有自洽性？最后两个问题最终导致了思想上的革命，前者让我们对宇宙的看法有了改变，后者对我们对数学性质和意义的理解产生了影响。但在2000年里，几乎没有其他任何领域的人类知识能比欧几里得的公设所表达的“事实”更被普遍接受，大家都认为，（过直线外一点）只有一条平行线存在。