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毕达哥拉斯听取泰利斯的建议，
去了埃及。但在那里，他并没有在埃及数学中找到诗意。在希腊，几何对象往往被形容为物理实体。线是哈佩多诺塔们拖拽的绳子，或是一块区域的边缘。长方形是一块土地的边界或一块石头的表面。空间可以是泥浆、土地和空气。对于希腊人（而不是埃及人）来说，将浪漫和隐喻引入数学的想法是值得赞扬的：空间可以是一种数学抽象，同样也可以应用到许多不同的环境中。有时候一条线就是一条直线，但是同样的线可以代表一座金字塔的边缘，一块区域的边界，或者是乌鸦飞行的路径。知识是可以举一反三的。
据传说，有一天，毕达哥拉斯散步到一家铁匠铺，这时他听到各种锤子敲打着沉重的铁砧的声音。他不由得陷入思考。在对各种弦进行了一些实验之后，他发现了和声的递进，以及振动弦的长度和它发出声音的音高之间的关系。例如，一条弦的长度是原来的两倍，则发出的音高是原先的一半。这是一种简单的观察，却是一种深刻的革命，人们认为这是人类发现自然法则的第一个例子。
想象数百万年前，当某个人发出了“呀”或“哼”的声音后，另一个人说了句固定短语。
这短语如今已经失传，但大概就是“我知道你的意思”的意思。那时，语言的概念已经出现。在科学领域，毕达哥拉斯的“谐波定律”具有同样的里程碑式的意义，这是人类第一次将物理定律用数学形式来表达。必须知道一点，在他所处的时代，人们并不知道简单数字现象背后的数学原理。比如毕达哥拉斯学派发现把一个矩形的两边长度相乘便得到它的面积。
对于毕达哥拉斯来说，数学的许多有趣之处来自于他和他的追随者发现的许多数值上的模式。毕达哥拉斯学派把整数想象成小石子或小点，它们在特定的几何图形中排列。他们发现，将鹅卵石铺成两行两列，三行三列，以此类推，这样的阵列能形成一个正方形。毕达哥拉斯学派把这类可以排成正方形的石子数量称为“平方数”，这也是为什么我们如今把这些数字称为“平方”的缘故，比如4，9，16等。至于其他数字，他们发现可以把石子排布成第一行1个，第二行2个，第三行3个，以此类推，来形成一个三角形，例如3，6，10等。
平方数和三角形数的性质让毕达哥拉斯深深着迷。例如，第二个平方数4，等于前两个奇数1+3之和；第二个平方数9，等于前三个奇数1+3+5之和，等等（这对第一个平方数1也成立，因为1=1）。发现所有平方数都等于连续奇数之和时，毕达哥拉斯注意到，同样地，所有三角形数等于连续整数之和，包括奇数和偶数。而且，平方数和三角形数是可以联系起来的，如果你把两个相邻的三角形数相加，就会得到一个平方数。
勾股定理，看上去也十分不可思议，想象一个古代学者仔细研究每一种类的三角形，而不只是罕见的直角三角形，测量它们的角度和边长，旋转它们并进行比较。如果有人这样研究，大学里很可能有一个专门的学科。“我的儿子是伯克利分校的数学老师，”某个母亲会自豪地说，“他是研究三角形的专家。”有一天他的儿子发现一个神奇的规律，每个直角三角形的斜边平方都等于两条直角边的平方和。这对大的、小的、胖的、瘦的直角三角形都成立，但对其他三角形却不成立。这绝对是值得《纽约时报》头版头条登出的重大发现：“直角三角形令人震惊的性质！”加上副标题“其应用还需多年”。
勾股定理的小石子图案
为什么直角三角形的边遵循这样一个简单的关系？可以用毕达哥拉斯经常用的一种几何学上的乘法运算来证明毕达哥拉斯定理。我们不知道毕达哥拉斯本人是否就是用这种证明方法，但这样证明非常直观，因为是纯几何意义上的证明。如今，人们想出了更简单的证明方法，用代数甚至三角函数，但在毕达哥拉斯时代它们都还没有被发现出来。但几何学证明真的不难，实际上只不过是一个曲解数学家连点成线作法的版本。
为了用纯几何方法证明勾股定理，你唯一需要知道的计算事实是一个正方形的面积等于边长的平方。这也是毕达哥拉斯的小石子计数法在现在的陈述。给定一个直角三角形，目标是由它伸展出3个正方形：边长分别等于这个直角三角形的斜边和两个直角边的长度。如果我们能证明斜边的平方，也就是斜边延展出的正方形的面积等于其他两个正方形的面积之和，那么我们就证明了勾股定理。
为了更简单一点，我们给三角形的三条边分别取名字。斜边（hypotenuse）已经有了名字，虽然很冗长，我们依然保留，只是将首字母大写以区分我们这一条特别的边，即把hypotenuse写成Hypotenuse。把另两条边取名阿列克谢和尼古拉。巧合的是，这是本书作者两个儿子的名字。写到这里的时候，阿列克谢长得更高一些，而尼古拉较矮，此后我们都沿用这个习俗来命名三角形的边（该证明对两条直角边相等的直角三角形也同样适用）。首先我们画一个正方形，其边长是阿列克谢和尼古拉之和。接着，在每边取一个点，把边分成两部分，其边长分别是阿列克谢和尼古拉，最后把点连成线。这样做有很多种方法，我们感兴趣的两种方法展示在第15页的图中。其一是一个以直角三角形斜边为边长的正方形，加上四个可以补齐的三角形。其二是两个正方形，边长分别为阿列克谢和尼古拉，加上两个可以补齐成大正方形的长方形。接着把长方形沿着对角线切割成4个三角形，大小和第一种方法里的三角形一样。
剩下的只是拼接了。两个被切割的大正方形面积相等，所以把它们去掉4个三角形之后，剩余的部分面积也相等。在第一张图中剩余正方形的面积是斜边长的平方，而第二张图中剩余两个正方形的面积是边长阿列克谢和边长尼古拉的平方和。这样我们就证明了这个定理！
如此成功的定理的确让人印象深刻，毕达哥拉斯的一个门徒这样写道
：“如果不是因为数字和它的种种性质，世界上任何现存的事物对人们来说都是不清晰的。”为了表达毕达哥拉斯学派的基本哲学思想，他们发明了“数学”（mathematics）这个词，源于希腊语mathema，意为“科学”（science）。这个词的起源反映了这两个学科之间的紧密联系。尽管今天的数学和科学有着明显的区别，但我们将看到，直到19世纪这区别才变得明显起来。
勾股定理
聪明的谈话和废话之间也有区别，毕达哥拉斯并不是总能区分这一点。
毕达哥拉斯对数字关系的敬畏使他形成了对数字占卜的神秘信仰。他首次把数字分类为“奇数”和“偶数”，但他又做了更个性化的一步：把奇数称为“阳性的”，把偶数称为“阴性的”。他把具体数字与概念相联系，例如1是推理，2是观点，4是正义。
由于他的系统4是由正方形表示的，所以把正方形与正义联系在一起，这就是我们今天仍在使用的这个表达的来源，如“公平交易”（a square deal）。为了给毕达哥拉斯合理的历史定位，人们必须认识到，一个人是有才还是只在说废话，用几千年的视角来判断要容易得多。
毕达哥拉斯是一个有魅力的人物，是一个天才，同时他也是一个很好的自我推销者。在埃及，他不仅掌握了埃及的几何学，而且成为第一个学习埃及象形文字的希腊人，并最终成为一名埃及牧师，或者相当于，得以参与他们的神圣仪式。这使他能知晓一切秘密，甚至可以进入庙宇的密室。他在埃及待了至少13年。离开并非他所愿——波斯人入侵埃及并俘虏了他。毕达哥拉斯在巴比伦登陆并最终获得了自由，接着全面学习了巴比伦数学知识。他终于在五十岁的时候回到了萨摩斯。当毕达哥拉斯回到家乡时，他已经综合了当时所有关于空间和数学的哲学理论并打算传播，他所需要的只是一些追随者。
他对象形文字的了解使许多希腊人相信他有特殊的能力。他希望关于他的传说能使人们将他与普通公民区分开来。其中一个离奇的故事是他攻击一条毒蛇并咬死了它。
另一个传闻是一个小偷闯入毕达哥拉斯的家，看到了一些奇怪的东西，这让小偷空手而逃并拒绝透露他看到了什么。毕达哥拉斯的大腿上有一个金色的胎记，他把它作为神性的象征。萨摩斯的人不是很容易受到他的说教的影响，所以毕达哥拉斯很快就离开了，去了一个不那么世故的地方，叫克罗顿，一个希腊人殖民的意大利城市。在那里，他建立了追随者的“社团”。
毕达哥拉斯的生活传奇得以传播，许多方法与后来有超凡能力的领袖耶稣相似。很难说关于毕达哥拉斯的神话传说没有影响到后来关于基督故事的创作。例如毕达哥拉斯，很多人相信他是上帝之子，
在基督的故事中，上帝之子是阿波罗。他的母亲叫帕提诺斯，意为“处女”。在去埃及之前，毕达哥拉斯曾在卡梅尔山上过着隐士的生活，就像在山上的基督独自守夜一样。有一个犹太教派，叫艾赛尼派，盗用了这个神话，据说后来与施洗约翰有了联系。还有一个传说是毕达哥拉斯从死里复活，尽管据传毕达哥拉斯是藏在一个秘密的地下室里伪造了这个故事。许多关于基督的不可思议的力量和事迹都要归功于毕达哥拉斯：据说他能一次出现在两个地方；他可以让水面平静和控制风；他曾经受到神圣声音的问候；他有在水上行走的能力。
毕达哥拉斯的哲学也与基督有一些相似之处。例如，他鼓吹你应该爱你的敌人。但在哲学上，他更接近与他同时代的释迦牟尼（约公元前560～前480年）。他们都相信转世，
人可能转世成动物，所以即使是动物也可以被曾经的人类灵魂所居住。因此，这两种观点都认为所有生命都有很高的价值，反对拿动物祭祀，并提倡严格的素食主义。据传，毕达哥拉斯曾经拦住一名打狗的男子，
告诉他这只狗是自己上辈子的老朋友。
毕达哥拉斯认为，财产妨碍了对神圣真理的追求。那个时期的希腊人有时会穿羊毛和各种颜色的服装。富裕的男人们偶尔会把斗篷披在肩膀上，用金针或胸针系上，骄傲地展示他们的财富。毕达哥拉斯拒绝奢侈，禁止他的追随者穿除了白色亚麻布之外做成的衣服。
他们不去挣钱，而是依靠克罗顿（Croton）平民的慈善事业，也许还有他的一些追随者的财富，将财产集中起来，过着公有制的生活。很难确定他的组织的性质，因为那个时代当地的风俗以及人的看法与现在是如此不同。例如，毕达哥拉斯把他们和普通人区分开来的两种方式是不随地小便和不在别人面前做爱。
保守秘密在毕达哥拉斯社团中十分重要，也许是源于他曾当过埃及祭司的秘密体验。也许是为了避免在革命性想法公之于众时导致反对意见，造成麻烦。其中有一项发现需要极端保守秘密，据传说，对泄露秘密的人采取处死惩罚。
回想一下确定单位正方形对角线长度的问题。 2 巴比伦人将其计算到6位小数，但对毕达哥拉斯学派来说，这还不够好。他们想知道它的确切值。如果你不知道确切值，怎么能假装知晓一个正方形里面有多少空间呢？问题是，尽管他们能得到越来越精确的估计值，但都不是确切答案。不过毕达哥拉斯学派并不容易被吓倒。他们富有想象力地问自己，这个精确数字存在吗？他们得出结论是不存在，并独创性地证明了这一点。
今天，我们知道对角线的长度等于2的平方根，是一个无理数。这意味着它不能以十进制形式写成小数形式，或者等价地，它不能被表示为一个完整的整数或分数，而毕达哥拉斯学派只知道这两种数。
显然，毕达哥拉斯遇到了麻烦。一个正方形的对角线的长度不能表示为任何数字，这一事实很糟糕，对一个高瞻远瞩地宣传数字就是一切的人来说。他是否应该改变他的哲学：除了表示某些非常神秘的几何大小，数字就是一切？
毕达哥拉斯本可以将实数系统的发明提前几个世纪，只要他做一件简单的事情：给定对角线的名称，比如说d，或者更好的符号2，并且把它当成一种新的数。如果他这样做了，他可能已经抢先开始了笛卡儿的坐标革命，因为描述这一新的数的类型很可能需要发明数轴。但相反，毕达哥拉斯放弃了将几何图形与数联系起来的这一有前途的尝试，并宣称有些长度不能用数表示。毕达哥拉斯学派把这样的长度称为alogon，意为“不可公度比”（notaratio）长度，我们今天把它说成“无理的”（irrational）。alogon这个词有双重含义：它也意味着“不可言说”（not to be spoken）。毕达哥拉斯以为他的学说解除了困境，而且很难被推翻，因此，根据全部学说保密原则，他禁止追随者透露这个令人尴尬的悖论。
但并不是所有人都听从。据传说，他的一个追随者希帕苏斯（Hippasus）泄露了这个悖论。今天人们被谋杀的原因有很多——爱情、政治、金钱、宗教——但没有人因为告密了2的平方根而死。然而对于毕达哥拉斯学派来说，数学是一种宗教，因此，当希帕苏斯打破必须沉默的誓约时，他被暗杀了。
这种对无理数的抵制持续了几千年，直到19世纪晚期，当时德国数学天才康托尔（Georg Cantor）在前人基础上做出了开创性的工作。他的前任老师利奥波德·克罗内克是一个性格乖戾的人，他“反对”这种不合理的东西，他非常不同意康托尔的这个观点，事事为难他，破坏他的事业。康托尔无法忍受这一点而崩溃，
他生命的最后几天在精神病院度过。
随后毕达哥拉斯在困顿中离世。大约在公元前510年，一些毕达哥拉斯学派的人来到附近的一个叫西巴利斯（Sybaris）的城市，表面上他们是在寻找追随者。除了他们都被谋杀了之外，此行的细节记录很少。后来，一群西巴利斯人逃到克罗顿，逃离了刚在城里掌权的暴君特拉斯（Telys）。特拉斯命令他们回国。毕达哥拉斯打破了他的一个基本原则：远离政治。他说服克罗顿人不要驱逐流亡者。一场战争爆发了，克罗顿人赢了，但对毕达哥拉斯来说，损失已经造成。他现在有了政治上的敌人。大约在公元前500年他们袭击了他的组织。毕达哥拉斯逃跑了。目前还不清楚他之后发生了什么：大多数消息来源说他自杀了；另一些人说他平静地度过了几年，并在一百岁左右死去。
毕达哥拉斯的社团在被袭击后维持了一段时间，直到公元前460年，又一次进攻屠杀了他的几个追随者。直到公元前300年，他的学说以某种形式得以保存下来。在基督诞生前一百年，他的学说被罗马人复兴，并成为罗马帝国的统治力量。毕达哥拉斯主义影响了当时的许多宗教，例如亚历山大犹太教、古埃及的古老宗教和我们现今看到的基督教。公元2世纪，毕达哥拉斯学派的数学与柏拉图学派相结合，获得了新的动力。公元前4世纪，东罗马帝国皇帝查士丁尼（Justinian）再次对毕达哥拉斯学派的后裔们进行了打击，罗马人憎恨毕达哥拉斯的希腊哲学家们。他们留长发和胡须，
他们使用毒品，如鸦片，更不用提他们不信基督教。查士丁尼下令关闭学院并禁止教授哲学。毕达哥拉斯主义接着留存了几个世纪，于公元600年的黑暗时代消失。