引言

2400年前，有一位希腊人站在海边，望着船只消失在远方。他站了很长一段时间，静静观望着船只，突然陷入奇思。船只似乎皆是船体先消失，接着是桅杆和船帆。他禁不住想，怎么会是这样？如果地球是四处平坦的，船只应该均匀缩小成一个模糊的点，直至消失不见。船体比桅杆和船帆先消失，使得亚里士多德灵光一现，发现地球是曲面的。亚里士多德在观察地球的大尺度结构之时跳进了几何学的窗口。

现今我们探索太空，就和千年以前我们对地球进行探索一样。有些人抵达了月球，而无人驾驶飞船已经飞出了太阳系边缘。可以预测，在千年之内我们将以十分之一光速旅行50年，最终抵达离地球最近的恒星。但即便以地球到半人马座阿尔法星距离的若干倍作为基准，宇宙的外边缘也在该基准的数十亿倍之外。我们不大可能像亚里士多德观察地球一样看着飞船飞至太空的“地平线”，但我们可以像他一样观察、推理，或者长时间茫然地凝视太空，想清楚宇宙的性质和结构。许多个世纪以来，在天才人物和几何学的帮助下，我们得以看见超出视界的景象。空间的何种性质是可以被证明的？如何知道我们身处何方？空间是弯曲的吗？它有多少个维度？几何学如何解释宇宙中的自然规律及其统一性？这是世界历史上5次几何学革命背后的问题。

一切是从毕达哥拉斯的设想开始的：把数学当成抽象规则的系统来给物理世界建模。接着，从我们行走着的地面或游泳的水中抽象出空间的概念。由此，抽象和证明便产生了。不久，希腊人似乎可以找到所有科学问题的几何学解答，从杠杆原理到天体运行的轨道。但希腊文明随后衰退，罗马人占领了西方世界。公元415年复活节前，一位女士被暴徒从战车上拖下后杀害。她是一名学者，致力于几何学和毕达哥拉斯学派，坚持理性思考。她是在黑暗时期之前最后一位在亚历山大图书馆工作的著名学者，此后文明衰落了近千年。

在文明重现后不久，几何学也随之出现，但演变成了一种新的几何学。这种几何学产生于一名思想颇为先进的男人——他喜欢赌博，每天睡到下午。他批评希腊人，是因为他认为他们的几何证明方法太费力。为了节省脑力劳动，勒奈·笛卡儿把几何和数字结合起来。有了他的关于坐标的概念，人们可以前所未有地描述位置和形状，而数字也可以通过几何学来可视化。这让微积分和现代技术的发展成为可能。多亏了笛卡儿，诸如坐标和图形，正弦和余弦，矢量和张量，角度和曲率这些几何概念，在物理学的各个分支中得以展现，从固态电子学到时空的大尺度结构，从晶体管和计算机技术到激光和太空旅行。但笛卡儿的研究也引出了一个更抽象而革命性的概念——空间弯曲。所有三角形的内角和都是180度吗，还是只对平面上的三角形才成立？这不仅仅是关于折纸的问题。弯曲空间的数学概念不仅在几何学上，而且在整个数学大厦的逻辑基础上都引发了一场革命，这使得爱因斯坦发现相对论成为可能。爱因斯坦关于空间的额外维度——时间，以及时空与物质和能量之间的关系的几何学理论，使牛顿物理学框架产生从未有过的巨大变化。它看起来肯定是激进的。但与下面最新的革命相比并不算什么。

1984年6月的一天，一位科学家宣布，他在理论中取得了突破，解释了为什么亚原子粒子存在，它们是如何相互作用的，并推广至时空的大尺度结构以及黑洞的本质。他相信，理解宇宙的统一和秩序的关键在于几何学，它拥有全新而奇特的性质。然而他被一群穿着白大褂的人赶了下去。

后来这一突破还是被推上了历史舞台，但人们与天才想法对抗的情绪是真实存在的。约翰·施瓦兹（John Schwarz）曾花15年的时间致力于研究一种理论，叫做弦论，当时大多数物理学家的反应就和对待一个上街乞讨的陌生人一样。如今，大多数物理学家都认为弦论是正确的：空间的几何结构影响了其内部的物理定律。

一名叫欧几里得的神秘人物记录下了几何学的重大革命。如果你记不太清有门让人头疼的学科叫欧几里得几何学，那可能是因为你上课时一直在睡觉。通常几何学呈现出的方式确实让年轻人心灰意冷。但实际上，欧几里得几何学是一门令人激动的学科，欧几里得的作品美妙程度堪比《圣经》，而其观点激进如马克思和恩格斯的作品。通过《几何原本》，欧几里得为人们描述宇宙本质打开了一扇窗。随后他的几何学经历了4次革命洗礼，由此科学家和数学家们粉碎了神学家的信仰，摧毁了哲学家们珍视的世界观，迫使我们重新审视和思考我们在宇宙中的地位。本书的主题就是关于这些革命，以及革命背后先知者们的故事。