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欧几里得是在亚历山大城工作的学者中第一位伟大的数学家，不幸的是，那些学者并没有更多发现。马其顿人
是居住在希腊大陆北部的希腊人，公元前352年在马其顿的菲利普二世的带领下，他们征服并统一了希腊。在一场决定性的失败战役后，雅典领导人在公元前338年接受了马其顿人的和平条款，希腊城邦很快失去了独立性。仅仅两年后，在参加一个他自己的雕像展示为新的奥林匹斯神的国家仪式上，菲利普二世被杀害：他被自己的保镖刺死。他的儿子亚历山大，也就是后来的亚历山大大帝，当时二十岁，继承了他的王位。
亚历山大非常重视知识，也许是因为他受到了自由主义教育，而几何学在其中发挥了重要作用。他尊重外国文化，但显然不尊重他们的主权独立性。不久，他就征服了希腊、埃及和近东地区的其他国家，直至印度。他鼓励跨文化交流和异族通婚，他自己就娶了波斯女人为妻。不满足于以身作则，他命令地位最高的马其顿公民也要和波斯女人结婚。
公元前332年，在帝国的中心，这位世界主义的国王亚历山大开始建造他奢华的首都亚历山大城。就像建造古代的迪士尼乐园一样，亚历山大精心设计这座大都市，让它成为文化、贸易和政治的中心。即便对于宽阔的林荫大道，他的设计都像在做一个数学陈述：建筑师应该把大道布局成格子形状，这是一种古怪的对解析几何的期待，再过18个世纪都未被发明出来。
9年后，亚历山大死于一种未知疾病，当时他的大都市已经开始建造，但还未建成。他的帝国瓦解，但亚历山大城依然逐步建成。它的几何结构十分巧妙，因为马其顿将军托勒密接管了亚历山大帝国的埃及部分，此后这座城市成为希腊数学、科学和哲学的中心。托勒密的儿子即很有创造性的托勒密二世，后来接管了亚历山大城，并建造了一座巨大的图书馆和博物馆。为了景仰七位缪斯女神（muses），博物馆（museum）一词由此得来，但它其实是研究机构，而且是世界上第一个国家级的研究机构。
托勒密的后继者热衷于珍藏书籍，用特别的方法来获取这些书。托勒密二世希望《旧约》有个希腊译本，就把这件事“委托”给监禁在法罗斯群岛牢房里的犯人们去做。托勒密三世写信给世界上所有国家的君王，要求借他们的书并保管。
最后，这一激进的收购方法取得了成效：亚历山大图书馆收藏了20万到50万张莎草纸卷，想看哪卷取决于你相信谁提供的历史。这些书代表了当时世界上绝大多数的知识储备。
博物馆和图书馆使亚历山大城成为世界上最大的知识分子中心，他们有前亚历山大帝国最伟大的学者，研究几何和空间性质。如果《美国新闻与世界报道》（ U.S.News&World Report ）对学术机构的调查扩展到所有历史，那么亚历山大将击败有牛顿（Newton）的剑桥大学、有高斯（Gauss）的格丁根大学和有爱因斯坦（Einstein）的普林斯顿高等研究院，成为世界第一。在欧几里得之后的几乎所有伟大的希腊数学和科学思想家都在这座令人难以置信的图书馆里工作。
公元前212年，亚历山大图书馆的馆长埃拉托色尼（Eratosthenes of Cyrene）
可能一辈子从未冒险远行超过几百英里，却成为历史上第一个测量地球周长的人。他的计算在同胞中引起了轰动，证明他们的文明在这颗行星上是多么的渺小。商人、探险家和梦想家们一定在想：“大洋彼岸有智慧生命吗？”在今天，能与埃拉托色尼相比的壮举，可能会是人类第一次揭示宇宙不止于太阳系。
埃拉托色尼在不远行探险的情况下洞察了我们星球的特质。就像爱因斯坦一样，他成功地运用了几何学。埃拉托色尼注意到，在赛尼城（Syene）[今天叫阿斯旺（Aswan）]的夏至日中午，一根棍子在地上投不出影子。
对埃拉托色尼来说，这意味着一根笔直插在地面上的木棍与太阳的光线平行。把地球画成一个圆圈，从圆心画出一条线直至圆圈上代表赛尼城的一点，并向外延伸，它与代表太阳光线的线平行。现在沿着地球表面的圆圈移动，离开赛尼城到达亚历山大城，再画一条线从地心到这个点，很明显这条线与太阳光线不平行，它们相交成一角度，这也是为什么我们能看到阴影的原因。
有了在亚历山大城的阴影长度和《几何原本》里关于一条线与两条平行线相交的定理，足以让埃拉托色尼计算出从赛尼城到亚历山大城之间的弧度，从而算出部分地球周长。他发现这大约占了地球总周长的1/15。
埃拉托色尼雇佣了一位默默无闻的同事，通过步行过两座城，测量出它们的距离。这可能是他雇佣的第一个研究助理。同事负责地报告说两地相距约500英里。乘以50之后，埃拉托色尼算出地球周长约为25000英里，与真实值差了不到4%。其值之精确，足以让当时的他获得诺贝尔奖，而对那位无名的步行者，或许可以谋一个图书馆里的终身职位。
埃拉托色尼并不是亚历山大时代唯一为理解宇宙做出重大贡献的人。天文学家阿利斯塔克斯使用了一种巧妙而又有点复杂的方法，将三角学理论和一个简单的天体模型结合起来，计算出月球的大小和离地球的距离。希腊人再一次更新了他们在宇宙中的位置。
另一位亚历山大时代的明星是阿基米德。他出生在西西里岛的叙拉古（Syracuse），为了在皇家数学学院（royal school of mathematics）学习而去了亚历山大。我们可能不知道哪位天才把石子或木头做成了圆形，为了吸引观众，又做成了世界上第一个轮子，但我们知道谁发现了杠杆原理：阿基米德
。他还发现了浮力原理，对物理学和工程学做出了许多其他贡献。在数学方面，他把该领域提升到了一个高度，一直未被超越，直到18世纪后符号代数和解析几何工具出现。
阿基米德的数学成就之一是完善了微积分的计算方法，与牛顿和莱布尼茨的理论相差无几。考虑到当时笛卡儿几何学还未出现，这更是令人印象深刻的壮举。他认为自己的最高成就在于发现内嵌在圆柱体里的球体（也就是球体半径与圆柱半径相等，直径与圆柱高度相等）体积是圆柱体的三分之二。阿基米德十分自豪于这个发现
，甚至要求在墓碑上刻一幅这样的图。
当罗马人入侵叙拉古时，75岁的阿基米德被一名罗马士兵杀害，当时他正在研究在沙中画的几何图形。人们将他的坟墓按照他的遗愿镌刻。一百多年后，罗马演说家西塞罗访问了叙拉古，在靠近一个大门的地方发现了阿基米德的坟墓，被人遗忘的坟墓上满是荆棘和蒺藜。西塞罗修整了坟墓。可惜的是，坟墓在今天却无处可寻。
公元前2世纪，亚历山大时代的天文学发展也达到了顶峰，
比如公元前2世纪的希帕克斯和公元2世纪的克罗狄斯·托勒密。希帕克斯观测天体长达35年，结合他的观测与巴比伦人的数据，他构建了一个太阳系的几何模型，5个已知行星、太阳和月亮都沿着复合圆轨道绕地球运动。他非常成功地描述了从地球上看到的太阳和月亮的运动，且他可以预测月食出现时间，误差不超过几个小时。托勒密在一本名为《天文学大成》（Almagest）的书中提炼并扩展了这项工作，为天体运动提供了理性的解释，完成了柏拉图未完成的计划。这些工作在哥白尼前一直是天文领域的主流思想。
托勒密还写了一本书描述地球环境，名为《地理学》（
Geographia
）
。制图学是一门高度数学化的学科，因为地图是平的，而地球几乎是球形的，球体被映射到一个平面上不能同时保证面积和角度都精确。《地理学》代表了制图学的开端。
到2世纪，数学、物理学、制图学和工程学都有了巨大发展。人们知道物质是由不可分割的部分组成的，它们称为原子。人们发明了逻辑、证明、几何学和三角学，以及微积分的一种形式。在天文学方面，人们知道世界很古老，也知道我们生活在一个球体上，甚至知道这个球体的大小。人们开始慢慢理解我们在宇宙中的位置，并坚定了继续探索的决心。如今我们知道，在几十光年之外，还有类似太阳系的星系。如果黄金时代（Golden Age）能够持续，也许如今我们已经发出探测器去探索这些星系了。登陆月球的时间就会在969年，而不是1969年。我们可能会探索到今天我们难以想象的空间和生活。但是，下面发生的事件把希腊人的探索进程推迟了一千年。
关于中世纪人们智力衰退的原因，写出来可能比亚历山大图书馆的所有文字都要多。原因并不简单。托勒密王朝在公元前2世纪时衰落了。托勒密十二世在公元前51年临死前，把他的王国遗赠给他的儿子和女儿，儿子在公元前49年对妹妹发动了一场政变，夺取了掌控国家的唯一权力。他的妹妹不甘这种待遇，偷偷前往罗马帝国，为她的案子辩护（当时，尽管从理论的角度讲，托勒密王朝是独立的，但其实已经被罗马帝国统治）。埃及艳后（Cleopatra）和恺撒大帝的风流韵事也由此开始。最后，埃及艳后声称自己和恺撒大帝有一个儿子。他是埃及人的有力盟友，但他们的联盟注定要与恺撒本人结盟。公元前44年3月，3名罗马参议员对他们的皇帝进行了猛烈的攻击，并将他刺死。恺撒大帝的侄子屋大维（Octavian）将亚历山大和埃及置于罗马帝国的统治之下。
罗马人征服希腊后，成为希腊遗产的守护者。希腊传统的继承者们征服了世界的大部分地区，同时也面临着许多技术和工程问题，然而他们的皇帝却不像亚历山大或埃及的托勒密王朝那样支持数学的发展，他们的文明也没有产生像毕达哥拉斯、欧几里得和阿基米德这样的数学天才。在他们有记录的1100年里，从公元前750年开始的历史中，从未有过罗马定理，甚至连一个罗马数学家也没有。对希腊人来说，确定距离的长短一直是一个数学挑战，涉及到三角形的全等和相似、视差法和其他几何学理论。在一本罗马教科书中，
有一个问题是，在敌人占领河岸的条件下，找一种方法来确定河的宽度。“敌人”（The enemy）一词在数学上有很多值得商榷的意义，但在罗马人的思考方式中只有一个意思。
罗马人对抽象的数学一无所知，并且以此为傲。正如西塞罗所说：“希腊人把几何学的发明视为最高荣誉。对希腊人而言，没有什么比数学上取得进步更值得骄傲的了。但我们也知道这门艺术在测量和计算上的局限性。”也许对于罗马人，我们会说：“罗马人将战士视为最高荣誉，因此，在他们中间，没有什么比强奸和掠夺更有成就了。但我们也知道这门艺术在征服世界上的局限性。”
这并不是说罗马人没文化。他们有。他们甚至写过自己的拉丁语技术书籍，但都是由希腊人的知识粗略改编而成。例如，欧几里得书籍的主要翻译者是一位罗马参议员，叫提乌·曼利厄斯·塞维林·波爱修（Anicius ManliusSeverinus Boethius）
，他来自一个古老的家族，是一位罗马时代类似《读者文摘》的编辑。波爱修对欧几里得的作品进行了删改，改成适合学生的叙述方式，并准备了一些多项选择题。
如果在今天，他的翻译可能被冠名为《傻瓜欧几里得系列》或者在电视广告中宣传“请拨打1-800-NOPROOFS”（就像给苹果公司拨打1-800-MY-APPLE一样），但在波爱修的时代，这是本权威教科书。
波爱修只给出定义和定理，而且也没觉得用近似代替精确结果有什么不妥。那真是非常宽容的时代。因为换成其他时期，可以很直接地说，他翻译错了。他并没有因为对希腊思想的歪曲而被剥皮、钉死、烧死，也没有受到中世纪时期知识分子的惩罚。他的垮台是因为他也参与了政治活动。524年，他因与东罗马帝国有“叛国牵连”而被斩首。他还真应该继续翻译数学书籍的。
另一本典型的歪曲本意的书，是由亚历山大的一个游历甚广的商人写的。“地球，”这位罗马人写道，“是平的。人类居住的部分是长方形，其长度是宽度的两倍……北部是一座圆锥形的山，被太阳和月亮围绕着。”他的书叫《基督教地志》（
Topographia Christiana
）
，并不基于对现实的观察和推理，而只是基于《圣经》而写。当你抿一口美味含铅的罗马葡萄酒时，可以读读这本好书。这本书一直是畅销书，直到12世纪，此后罗马帝国已成历史。
最后一位在亚历山大图书馆工作的伟大学者叫希帕蒂娅（Hypatia）
，她是历史记录的第一位伟大的女学者。370年左右在亚历山大城出生，是著名数学家和哲学家席恩（Theon）的女儿。席恩教授女儿数学。女儿成了他最亲密的合作伙伴，并最终超越了他。她的一个学生叫达马西斯（Damascius），后来成为一个激烈的批评家，说她“生来比父亲更有教养和才华”。几个世纪以来，许多作家讨论了她的命运和更深的历史意义，比如写《罗马帝国衰亡史》的爱德华·吉本
和伏尔泰。
在5世纪初，亚历山大城是基督教最大的中心地之一。这使得教会代表和国家代表之间斗争不断。这是亚历山大的社会动荡期，基督徒和非基督徒之间，如希腊的新柏拉图主义者和犹太人，一直激烈冲突。391年，一群基督徒暴徒袭击并几乎烧毁了亚历山大图书馆。
412年10月15日
，亚历山大城的基督教大主教去世。他的侄子名叫西里尔（Cyril），人们说他对权力十分饥渴，并且不受欢迎。当时的世俗权威是一个名叫俄瑞斯忒斯（Orestes）的人，他在412～415年间是亚历山大城和埃及的行政长官。
希帕蒂娅把她的智力遗产追溯到柏拉图和毕达哥拉斯，而不是通过基督教教会。有人说她甚至选择在雅典学习，并获得了雅典最好的学生的桂冠，而且每当她出现在公众面前时，她都会戴上这个花环。据说，她在两本著名的希腊著作——丢番图的《算术》和阿波罗尼乌斯的《圆锥曲线》——中写了大量的评论，这两部作品至今仍被广泛阅读。
希帕蒂娅是一位美女，也是一位充满魅力的讲师，她参加了很多关于柏拉图和亚里士多德的公开讲座。据达马西斯说，
整座城市的人都“喜爱她，崇拜她”。每天结束的时候，她会坐上马车去学院的演讲厅，房间里装饰辉煌，有着涂着香油的灯和希腊艺术家设计的巨大的圆形大厅。希帕蒂娅穿着一件白袍，戴着桂冠，面对着大批人群，用她富有雄辩力的希腊文，吸引了来自罗马、雅典和其他伟大城市的学生。罗马的行政长官俄瑞斯忒斯也参加了她的讲座。
俄瑞斯忒斯成为希帕蒂娅的朋友和知己。他们经常见面，不仅讨论她的演讲内容，还讨论市政和政治问题。这使她完全站在俄瑞斯忒斯一边，与西里尔斗争，成为西里尔的一个大威胁，她的门徒在亚历山大和外面都有很高的地位。希帕蒂娅得以有勇气继续她的演讲，尽管西里尔和他的追随者散布谣言说她是一个女巫，说她在市民身上练习黑魔法和撒旦咒语。
关于接下来发生的事情有几个版本，大多数类似。
415年的一个早晨，希帕蒂娅正爬进她的马车里，有人说当时她在住所外面，也有人说在街上想要骑马回家。数百名西里尔的跟班，来自沙漠修道院的基督教僧侣，扑向她，殴打她，并把她拖到教堂。在教堂里，他们剥去她的衣服，用磨碎的瓦片或碎陶器剥去她的肉。后来，他们撕开她的四肢，把剩余部分烧毁。有人说部分尸体被散布于全城。
希帕蒂娅的作品全被毁了。没过多久，图书馆的残余书籍也被销毁。俄瑞斯忒斯离开了亚历山大城，也许人们还会想起他，但在历史文献中他已经没了消息。后来西里尔获得了他所渴望的在帝国官员中的影响力。他最终被封为圣徒。
最近的一项历史研究估计，
在历史上，平均每300万人中就有一个值得纪念的数学家。今天，这项研究工作在世界各地广泛展开。在4世纪，人们必须用原始的笔在卷轴上小心刻字来复制作品，因此任意一本遗失的书卷都能列入濒危物种名单。我们不知道巴比伦和希腊的数学中还有多少宝贵的思想，因为图书馆的藏书超过20万卷。这个图书馆有100多部索福克勒斯的戏剧，而今天只有7部幸存。希帕蒂娅是希腊科学和理性主义的化身。随着她的去世，希腊文化也因此消亡。
随着476年罗马的陷落，欧洲继承了巨大的石砌庙宇、剧院和大厦，以及现代市政服务，如街灯、热水和污水系统，但在智力上的成就却少之又少。到800年
，欧几里得《几何原本》的拉丁翻译的片段仍然存在。它们藏在一些测量学的书籍中，只包含公式，使用近似值，并不尝试推导。希腊传统的抽象和证明似乎消失了。随着卓越的伊斯兰文明的繁荣，欧洲陷入了深度智力衰退。人们给这个时期的欧洲起了一个名字：黑暗时代（Dark Ages）。
最终，希腊人的思想会复活。像《基督教地志》这样的书不再受到欢迎，波爱修的作品被更忠实的译本所取代。在中世纪晚期，一群哲学家创造了一种理性的学术氛围，使16世纪伟大的数学家如费马、莱布尼茨和牛顿的理论得以繁荣发展。其中一位思想家是下一场关于几何学和空间概念革命的焦点人物。他的名字叫勒奈·笛卡儿。