| 第一章 |

大数

你最多能数到几

有这样一个故事。两个匈牙利贵族决定玩一场游戏，看看谁能说出世界上最大的数。

一个人说：“你先说吧。”

经过几分钟的苦苦思索，第二个贵族终于说出了他能想到的最大的数。

“三。”他说。

现在轮到第一个人思考了。一刻钟以后，他认输了。

“你赢了。”他说。

当然，这两个匈牙利贵族的智力水平 表现堪忧，这个故事可能只是一种恶意污蔑。不过，类似对话在霍屯督人之中可能的确发生过。根据非洲探险家的说法，许多霍屯督部落的语言中没有表示三以上数字的词语。当你向那里的原住民询问他有多少儿子或者杀死过多少敌人时，如果这个数字大于三，他会回答“很多”。所以，就计数而言，只能数到十的美国幼儿园儿童完全可以轻松击败凶猛的霍屯督战士。

现在，只要在某个数字右边写下足够多的零，我们就可以写出我们希望表示的任意大数——不管这个大数表示的是以美分为单位的战争支出，还是以英寸为单位的恒星距离。我们已经习惯了这种做法。你可以不停地画圈，直到你的手感到疲惫。你会不知不觉写下一个比宇宙中原子总数 还要大的数。顺便说一句，宇宙中的原子总数是300,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000。

你也可以使用更加简洁的形式记录这个数：3×10 ⁷⁴ 。

在这里，数字10右上角那个小小的74意味着你必须写出74个零。换句话说，3必须乘以74次10。

不过，这种“简易算术”系统在古代并不为人所知。实际上，它是某个不知名的印度数学家在不到两千年前发明的。在他的伟大发现之前——这在当时的确是一项伟大发现，尽管我们通常没有意识到这一点——人们在计数时会使用特殊符号，我们今天的每一个十进制单位对应于一个特殊符号。十进制单位上的数是几，这个符号就重复几次。例如，下面是古埃及人记录的8732：

而恺撒衙门里的职员则会把8732写成下面的形式：

MMMMMMMMDCCXXXII

你一定对后一种计数法感到熟悉，因为今天的人们有时仍然会使用罗马数字——用于表示一本书的卷数或章节，或者在庄重的纪念碑上记录历史事件的日期。不过，由于古代的记录需求不会超过四位数，因此表示更高十进制单位的符号并不存在。如果你让古罗马人写下“一百万”，不管他在算术方面接受过多么良好的教育，他都会陷入极为尴尬的境地。对他来说，要想满足这个要求，最好的办法就是连续写下一千个M，这需要几个小时的辛勤劳动（图1）。

对古代人来说，天上的星星、海里的鱼或者沙滩上的沙粒这类非常大的数是“无法计算的”，正如“五”对霍屯督人来说是无法计算的。霍屯督人只会将“五”看作“很多”。

公元前3世纪，具有伟大头脑的著名科学家阿基米德（Archimedes）指出，人们可以写出非常大的数。阿基米德在著作《数沙者》中写道：

一些人认为沙粒的数量是无限的；我所说的沙粒不是指存在于叙拉古附近和西西里其他地方的沙粒，而是指地球上有人居住和无人居住的所有地区的所有沙粒。还有一些人认为这个数字不是无限的，但是他们认为超过地球沙粒数量的数字是写不出来的。显然，对于持有这种观点的人来说，如果他们想象出一个与地球大小相等的沙球，上面与地球上所有海洋和所有洼地相对应的位置都被填充到最高山峰的高度，那么他们可以更加肯定地说，表示这些沙粒的数字和比它还要大的数字是表示不出来的。不过，我会努力说明，我所写出的一些数不仅超过了按照上述方法填充的与地球一样大的沙球中的沙粒数量，而且可以等同于与宇宙一样大的沙球中的沙粒数量。

阿基米德在这本著作中提出的大数表示方法与现代科学的大数表示方法类似。他从古希腊算术中最大的数入手，这个数是一万。接着，他引入了一个新数，即一万万，他称之为“亿”或“二级单位”。“亿亿”被称为“三级单位”，“亿亿亿”被称为“四级单位”，依此类推。

大数的表示似乎是一个微不足道的话题，不值得花费几页纸的篇幅。不过，在阿基米德的时代，大数的表示方法是一个伟大发现，是数学科学的一项重要进步。

为了计算填充整个宇宙所需要的沙粒数量，阿基米德需要知道宇宙有多大。在那个时代，人们认为宇宙是一个水晶球，固定的恒星附着在球面上。萨摩斯人阿利斯塔克（Aristarchus）是与阿基米德同时代的著名天文学家，他估计地球与天球边缘的距离是10,000,000,000斯塔德，约为1,000,000,000英里。

阿基米德比较了天球和沙粒的大小，完成了一系列复杂到足以成为高中生噩梦的计算，最终得出了下面的结论：

显然，阿利斯塔克估计的恒星天球包裹的空间可以容纳的沙粒数量不超过一千万个八级单位。 ^[1]

你可能会注意到，阿基米德使用的宇宙半径估计值比现代科学家的估计值小得多。十亿英里的距离只比太阳系中地球到土星的距离稍微多一点。我们稍后将会看到，现在的望远镜对宇宙的探测距离已经达到了5,000,000,000,000,000,000,000英里。所以，填充整个可见宇宙所需要的沙粒数量应该超过：

10 ¹⁰⁰ （1后面100个零）。

当然，这比本章开头提到的宇宙中的原子总数3×10 ⁷⁴ 大得多。然而，我们一定不要忘了，宇宙并非充满了原子。实际上，每立方米空间平均只有大约一个原子。

不过，要想获得非常大的数，我们根本不需要做出用沙子填充宇宙这样极端的事情。实际上，大数常常出现在看似非常简单的问题中，你甚至不会想到这些问题中会出现超过四位的数。

大数的受害者之一是印度舍罕王（King Shirham）。根据古老的传说，总理大臣西萨·本·达希尔（Sissa Ben Dahir）发明了国际象棋，并且献给了国王。国王想要奖励他。聪明的总理大臣似乎没有太大的欲望。他跪在国王面前，说道，“陛下，请在棋盘第一格为我摆上一粒小麦，第二格摆上两粒小麦，第三格摆上四粒小麦，第四格摆上八粒小麦，每一格的数量如此加倍。哦，国王，请为我提供足以摆满64格棋盘的小麦。”

“哦，爱卿，你要的并不多。”国王叫道。他觉得为神奇游戏发明者提供礼物并不会使他失去太多财富，因此感到有些欣喜。“你的愿望一定会得到满足。”他命人把一袋小麦带到宝座前。

计数开始了。第一格一粒小麦，第二格二粒，第三格四粒，依此类推。还没有算到第二十格，袋子已经空了。更多袋小麦被带到国王面前。不过，每一格麦粒数的增长极为迅速。人们很快意识到，即使交出印度所有粮食，国王也无法满足他对西萨·本的承诺。他需要向西萨提供18,446,744,073,709,551,615个麦粒！ ^[2]

这个数没有宇宙中的原子总数那么大，但它仍然非常大。假设1蒲式耳小麦含有大约5,000,000个麦粒，要想满足西萨·本的要求，你需要大约4万亿蒲式耳 。全球小麦每年的平均产量约为2,000,000,000蒲式耳，因此总理大臣的要求相当于全球小麦大约两千年的总产量！

因此，舍罕王欠了总理大臣很大一笔财富。他有两个选择，一是接受总理大臣持续不断的要求，二是砍下他的头。我们怀疑他选择了后者。

另一个由大数扮演主要角色的故事同样来自印度，它与“世界末日”问题有关。喜欢数学的历史学家W. W. R.鲍尔（W. W. R.Ball）讲述了下面的故事： ^[3]

贝那拉斯大神殿穹顶下方是世界中心，那里有一块铜板，上面固定着三个钻石针柱，每个针柱高一腕尺（1腕尺约为20英寸），粗细与蜜蜂的身体相同。在创造这些针柱时，上帝在其中一根针柱上放置了64个纯金圆盘，最大的圆盘放在铜板上，接下来的圆盘越来越小，直到顶端的圆盘。这就是梵天塔。值班僧侣日夜不停地将圆盘从一根针柱移到另一根针柱上。根据固定不变的梵天法则，僧侣一次只能移动一个圆盘，而且永远不能让小圆盘位于大圆盘下方。当所有64个圆盘按照这种方式从上帝最初放置的针柱转移到另一根针柱上时，梵天塔、庙宇和婆罗门都会化为尘土，世界也会在霹雳声中消失。

图3展示了故事中的情景，但是图中的圆盘数量没有画够。你可以用纸板圆盘代替印度传说中的黄金圆盘，用长铁钉代替钻石针柱，亲自制作一个谜题玩具。你不难找到移动圆盘的一般规则。当你找到这个规则时，你会发现，转移每个圆盘所需要的移动次数是前一个圆盘的两倍。第一个圆盘只需要移动一次，但是接下来每个圆盘的移动次数会以几何级数增长。当第64个圆盘完成转移时，你的移动次数将与西萨·本·达希尔索要的麦粒数量一样多！ ^[4]

将梵天塔的所有64张圆盘从一根针柱转移到另一根针柱需要多长时间？假设僧侣们夜以继日地工作，没有节假日休息，每秒钟移动一次。一年大约有31,558,000秒，因此完成这项工作需要58万亿年多一点。

我们可以将这个纯属臆测的宇宙寿命预测与现代科学的预测进行比较。根据目前关于宇宙演化的理论，恒星、太阳以及包括地球在内的行星是在大约3,000,000,000年前由没有形状的物质形成的。我们还知道，为太阳和其他恒星提供能源的“原子燃料”还可以持续10,000,000,000或15,000,000,000年（见“创造之日”一章）。因此，宇宙的总寿命一定小于20,000,000,000年，它并没有印度传说预测的58万亿年那么长。不过，这毕竟只是一个传说！

著名的“打印行问题”中出现的数可能是文献中提到过的最大的数。假设我们制造了一台印刷机，可以一行接一行地连续打印，并且可以自动为每一行选择字母和其他打印符号的不同组合。这种机器由许多不同的圆盘组成，每个圆盘的边缘排满了字母和符号。圆盘之间的齿轮机关与汽车里程表上的数字圆盘相同。如果一个圆盘转满一圈，旁边的圆盘就会前进一位。圆盘每移动一次，来自滚筒的纸张就会朝着打印机自动前进一次。制造这种自动印刷机不会有太大困难。图4是这种印刷机的示意图。

让我们启动机器，检查由它不断打印出来的一行行文字。大多数的打印行没有任何意义。它们看上去是这样的：

“aaaaaaaaaaa...”

或者

“boobooboobooboo...”

或者

“zawkporpkosscilm...”

不过，由于这台机器可以打印出字母和符号的所有可能组合，因此我们可以在毫无意义的垃圾之中找到各种有意义的句子。当然，许多句子是没有用的，比如：

“horse has six legs and...”（马有六条腿）

“I like apples cooked in terpentin...”（我喜欢松节油炒苹果）

不过，你也可以在查找中发现莎士比亚写下的每一行文字，包括被他丢进垃圾筒的文字！

实际上，这种自动印刷机可以打印出人类自从学会书写以来写出的一切事物：每一行散文和诗歌，报纸上的每一篇社论和广告，每一本沉闷的科学专著，每一封情书，每一张写给送奶工的便条……

此外，这台机器还可以打印出人类在未来几个世纪将会打印出的一切。在圆筒旋转出的纸张上，我们可以找到30世纪发表的诗歌、未来的科学发现、美国第500届国会上的发言以及2344年的行星内部交通事故报告。你会发现人类目前从未写过的一页页短篇和长篇小说。在地下室里拥有这种机器的出版商只需要从一堆垃圾中选择和编辑优秀的段落——这也是他们目前正在做的事情。

为什么这种想法不能变成现实？

让我们数一数这台机器为了呈现字母和其他打印符号的所有组合需要打印的行数。

英文字母表中有26个字母。此外，还有十个数字（0，1，2，…，9）和14个常用符号（空格、句号、逗号、冒号、分号、问号、感叹号、破折号、连字符、引号、撇号、小括号、中括号、大括号），共50个符号。让我们假设印刷机有65个轮子，对应一行文字通常包含的65个位置。一个打印行可以始于任何符号，因此第一个位置有50种可能性。对于其中的每一种可能性，打印行的第二个位置都有50种可能性。也就是说，两个位置共有50×50 = 2500种可能性。对于前两个字符的每一种给定组合，我们可以在第三个位置选择50种符号，依此类推。整个一行可能的排列数量可以表示成：

即

50 ⁶⁵

其数量级为

10 ¹¹⁰

为了感受这个数有多大，假设宇宙中的每个原子代表一台单独的印刷机。也就是说，我们有3×10 ⁷⁴ 台同时工作的机器。假设所有这些机器从宇宙诞生时起一直在连续工作，已经工作了30亿年，即10 ¹⁷ 秒。假设它们以原子的振动速度打印文字，即每秒10 ¹⁵ 行。到目前为止，它们已经打印了大约

3×10 ⁷⁴ ×10 ¹⁷ ×10 ¹⁵ = 3×10 ¹⁰⁶

行——只占所需总数的大约三千分之一。

而且，对于所有这些自动打印出来的材料来说，任何选择都需要花费很长的时间。

如何计数无穷

我们在前一节讨论的是数，其中许多数非常大。虽然西萨·本索要的麦粒数量十分巨大，几乎令人难以置信，但是这些数仍然是有限的。只要有足够的时间，你就可以将它们写到最后一位。

不过，有一些真正具有无穷性的数。不管我们花费多少时间，我们写下的数都没有这些数大。例如，“所有数的数量”显然是无穷的，“一条线上所有几何点的数量”也是如此。除了无穷性，这些数还有其他可以讨论的地方吗？比如说，我们能否比较两个不同的无穷，看看哪一个“更大”？

如果你问“所有数的数量是否大于或小于一条线上所有点的数量”，这个问题是否有意义？著名数学家格奥尔格·康托（Georg Cantor）首先对这类看似荒诞的问题进行了思考。康托是名副其实的“无穷算术”之父。

要想谈论无穷的大小，我们需要对无法命名且无法书写的数进行比较。我们就像霍屯督人一样，希望知道自己的财宝箱里有更多的玻璃珠还是更多的铜币。不过，你应该记得，霍屯督人只能数到三。他是否会因此而放弃对于玻璃珠和铜币数量的比较呢？答案是否定的。如果他足够聪明，他可以一件一件地比较玻璃珠和铜币，从而得到答案。他可以把一个玻璃珠放在一个铜币旁边，把另一个玻璃珠放在另一个铜币旁边，依此类推……如果玻璃珠用光了，铜币还剩下一些，他就会知道他的铜币多于玻璃珠。如果铜币用光了，玻璃珠还剩下一些，他就会知道他的玻璃珠多于铜币。如果二者完全匹配，他就会知道他的玻璃珠和铜币一样多。

康托在比较两种无穷时提出了完全相同的方法：如果我们可以将两个无穷集合中的对象进行配对，使一个无穷集合中的每个对象与另一个无穷集合中的每个对象匹配，而且两个集合中都没有剩余对象，那么两种无穷就是相等的。如果这种安排无法实现，一个集合中剩下一些没有配对的对象，我们说这个集合中对象的无穷多于或强于另一个集合中对象的无穷。

这显然是比较无穷数量最合理的规则。事实上，它也是唯一可能的规则。不过，当我们真正开始使用它时，我们必须做好吃惊的心理准备。以所有偶数的无穷和所有奇数的无穷为例。你当然会本能地认为，偶数的数量和奇数相同。而且，这完全符合上述规则，因为你可以这样安排它们的一一对应：

这个表格中的每个奇数对应一个偶数，每个偶数对应一个奇数。因此，偶数的无穷等于奇数的无穷。这看上去非常简单和自然！

不过，请稍等。你觉得包括奇数和偶数在内的所有数的数量更大，还是偶数的数量更大？你当然会说所有数的数量更大，因为它不仅含有所有偶数，而且含有所有奇数。不过，这只是你的印象。为了得到正确答案，你必须用上述规则比较两种无穷。当你使用这种规则时，你会吃惊地发现，你的印象是错误的。实际上，下表列出了所有数与偶数的一一对应：

根据比较无穷的规则，我们必须承认，偶数的无穷与所有数的无穷一样大 。这听去当然很荒谬，因为偶数只是所有数的一部分。不过，我们必须记住，我们现在处理的是无穷数，我们必须做好面对不同性质的准备。

实际上，在无穷的世界里，部分可能等于整体！德国著名数学家戴维·希尔伯特（David Hilbert）的一个故事也许最能说明这一点。据说，在关于无穷的讲座中，他如此讲述了无穷数的奇怪性质：

让我们想象一座拥有有限房间的酒店，假设所有房间住满了人。一位新的顾客来到酒店，要求提供房间。‘对不起——店主说——所有房间都住了人。’现在，让我们想象一座拥有无穷个房间的酒店，所有房间住满了人。一位新的顾客来到这座酒店，要求提供房间。

“当然可以！”——店主叫道。他让之前住在1号房的人搬到2号房，2号房的人搬到3号房，3号房的人搬到4号房，依此类推……这种调动使1号房空了下来，新的顾客住进了1号房。

现在，让我们想象一座拥有无穷个房间的酒店，所有房间住满了人。无穷个新顾客来到酒店，要求提供房间。

“当然可以，先生们，”店主说，“请稍等。”

他让1号房的住户搬到2号房，2号房的住户搬到4号房，3号房的住户搬到6号房，依此类推……

现在，所有奇数号房间都空了，无穷个新顾客可以轻松地入住酒店了。

人们恐怕也很难想象希尔伯特描述的情况。不过，这个例子清晰表明，在处理无穷数时，我们会遇到与正常算术完全不同的性质。

根据康托比较两种无穷的规则，我们还可以证明，像 和 这种普通分数的数量与所有整数的数量相同。实际上，我们可以根据下面的规则将所有普通分数排成一行：首先写下分子和分母之和等于2的分数，这样的分数只有一个，即 ；接着，写下分子和分母之和等于3的分数： 和 ；接着，写下分子分母之和等于4的分数： ， ， ……依此类推。通过这种程序，我们可以得到一个无穷的分数序列，其中包含了你能想到的每一个分数（图5）。现在，在这个序列上方写下整数序列，你就得到了分数无穷和整数无穷的一一对应。所以，二者的数量是相同的！

你可能会说，“这很好，但是这难道不意味着所有无穷全都相等吗？如果是这样，比较它们又有什么用呢？”

不，事实并非如此。你很容易找到比所有整数或所有算术分数的无穷更大的无穷。

实际上，如果我们考察本章之前提出的一条线上的点数与所有整数数量的比较问题，我们就会发现，这两种无穷是不同的。一条线上的点数比整数或分数的数量多得多。为了证明这种说法，让我们试着在一条线上的点与整数序列之间建立一一对应关系。假设这条线长1英寸。

线段上的每个点可以用它与线段一端的距离来表示。这个距离可以写成无限小数的形式，比如0.7350624780056……或者0.38250375632…… 所以，我们需要比较所有整数的数量与所有可能存在的无限小数的数量。那么，上面给出的无限小数与 和 这样的普通分数有什么区别呢？

你必须回忆起算术课上的知识：每个普通分数都可以转换成无限循环小数。例如， = 0.66666…… = 0.（6）， = 0.428571 428571 428571 4…… = 0.（428571）。我们刚刚已经证明，所有普通分数的数量等于所有整数的数量。所以，所有循环小数的数量一定也等于所有整数的数量。不过，一条线上的点不一定能表示成循环小数。在大多数情况下，我们得到的无限小数中的数位没有任何周期性。我们很容易证明，在这种情况下，你无法建立起一一对应关系。

假设某人宣称做出了这种排列，它看上去是这样的：

当然，由于我们无法写出无穷个具有无穷数位的数，因此上述说法意味着表格作者在制作表格时使用了某种普通规则（类似于我们排列普通分数时使用的规则），这个规则确保了你能想到的每一个小数迟早都会出现在表格中。

不难证明，任何此类说法都是不合理的，因为我们总是可以写出一个不存在于这个无穷表格中的无限小数。怎样写呢？哦，这很简单。你只需要让这个小数的第一位与表格中第一个小数的第一位不同，让这个小数的第二位与表格中第二个小数的第二位不同，依此类推。你得到的数应该是这样的：

不管你在表格中查找多少行，你都找不到这个数。实际上，如果表格作者告诉你，你写出的这个小数在表格中排在第137位（或者其他任意位置），你可以立即回答他：“不，这两个小数是不同的，因为你那个小数的第137位与我想出的小数的第137位不一样。”

因此，你无法为一条线上的点与整数建立一一对应关系，这意味着一条线上的点的无穷大于或强于所有整数或分数的无穷。

我们讨论的是“1英寸长”的线段上的点。不难证明，根据我们的“无穷算术”规则，同样的结论适用于任意长度的线段。实际上，1英寸、1英尺和1英里长的线段上的点数是相同的。为了证明这一点，你只需要看一看图6，这张图比较了AB和AC两条长度不同的线段上的点数。为了在两条线段的点之间建立一一对应，我们在AB上的每一个点上画了一条与BC平行的线，并将交点成对标记，比如D和D′，E和E′，F和F′，等等。AB上的每个点在AC上有一个对应点，反之亦然。因此，根据我们的规则，二者的无穷是相等的。

更加惊人的无穷分析结果是：一个平面上所有点的数量等于一条线上所有点的数量。为证明这一点，让我们考虑1英寸长的线段AB上的点以及正方形CDEF内部的点（图7）。

图6

图7

假设线段上某个点的位置由某个数指定，比如0.75120386……。我们可以选择这个数的奇数数位和偶数数位，将其组合在一起，构造出两个不同的数。我们可以得到

0.7108……

和

0.5236……

现在，在正方形的横纵两边上分别度量出这两个数代表的长度，将其对应于正方形内部的一个点，将这个点称为之前线段上那个点的“对应点”。反过来，如果正方形中某个点的位置可以由

0.4835……

和

0.9907……

来描述，我们可以将这两个数合并，得到线段上“对应点”的位置：

0.49893057……

显然，这个做法可以在两组点之间建立一一对应关系。线段上的每个点在正方形中都有对应点，正方形中的每个点在线段上都有对应点，而且没有未匹配的点。因此，根据康托的标准，正方形中所有点的无穷等于线段上所有点的无穷。

类似地，不难证明，正方体中所有点的无穷等于正方形或线段内部所有点的无穷。在证明时，我们只需要将原始小数分为三部分 ^[5] ，用得到的三个小数定义正方体中“对应点”的位置。与两条不同长度的线段类似，正方形或正方体内部的点数与它们的大小无关。

虽然所有几何点的数量大于所有整数和分数的数量，但它并不是数学家已知的最大的数。实际上，人们发现，包括形状最为罕见的曲线在内，所有可能曲线的数量大于所有几何点的数量，因而需要由无穷序列中的第三个数（即后文的 ）来描述。

“无穷算术”的创造者格奥尔格·康托用希伯来字母 （阿列夫）来表示无穷数，用右下角的小数字表示无穷级别。至此，数的序列（包括无穷数！）可以写成：

我们会说“一条线上有 个点”或者“有 条不同的曲线”，就像我们说“世界有七大洲”或者“一副牌中的52张牌”一样。

在结束无穷数的讨论之前，我们要指出，前几个阿列夫数足以囊括人类能够想到的任意集合。我们知道， 表示所有整数的数量， ₁ 表示所有几何点的数量， ₂ 表示所有曲线的数量，但是还没有人想到应该用 ₃ 描述的明确的无穷对象集合。前三个无穷数似乎足以计数我们能够想到的任何事物。此时，我们与之前提到的霍屯督人处于完全相反的状态，因为他们可能有许多儿子，但却无法计数超过三的数字！

[1] 在我们现在的表示法中，这个数是

或者简单写成：10 ⁶³ （1后面63个零）。

[2] 聪明的总理大臣索要的麦粒数量可以表示成：
1+2+2 ² +2 ³ +2 ⁴ +…+2 ⁶² +2 ⁶³ .
在数学上，每个数增长相同倍数（这里的倍数是2）的数列叫作几何级数。可以证明，这种级数所有项之和等于恒定倍数（这里是2）的级数项数（这里是64）次幂减去第一项（这里是1）并除以上述恒定倍数与1之差。它可以表示成：

其数值为
18,446,744,073,709,551,615。

[3] W. W. R.鲍尔，《数学游戏与欣赏》（ Mathmatical Recreations and Essays ）。

[4] 如果你只有七个圆盘，你需要移动的次数是
1 + 2 ¹ + 2 ² + 2 ³ + …或者
2 ⁷ - 1 = 2×2×2×2×2×2×2 - 1 = 127.
如果你在不犯错的情况下迅速移动圆盘，完成这项任务需要大约一个小时。对于64个圆盘，需要移动的总次数是
2 ⁶⁴ - 1 = 18,446,744,073,709,551,615
这与西萨·本·达希尔索要的麦粒数量相同。

[5] 例如，我们可以根据
0.735106822548312……得到
0.71853……
0.30241……
0.56282…… WZuQaRm4xL8/fnIsgvhVH2dlPnlFpYUJI/72BuOkFrInVyD8Ru0ZG2FQGlAuGZcQ