牛顿与莱布尼兹的争执

牛顿在描述真实世界的特定性质时，也继承了伽利略广博精深的观念，就是刻意简化模型（如伽利略的绝对光滑的平面）。例如，牛顿对于重力与运行轨道研究的关键点在于，不论是火星、月球或一颗苹果，在计算万有引力时，他一概把物体质量视为集中在质心上；只要研究者在被研究物体之外，它的万有引力可根据研究者与物体质心（当物体是球形时，也被称为几何中心）之间的距离算出。牛顿在《原理》中证明，对于球状物体，上述说法依然成立。他知道地球不是正球体（他甚至可以算出地球在赤道附近因自转膨胀的程度），但他觉得把地球（以及太阳、火星等）视为正球体，是初步估算它运行轨道的合理假设。后来的计算印证了，即使是非常不规则的物体，如果你与它的距离够远，在重力表现上它的质量就好像集中于一点。但这无损于在适当时机利用理想的模型描述真实状况的重要性。

除了这个特别的故事，还有更令人目不暇接的情节。牛顿在《原理》中证明了，研究万有引力时，将一个球形物体所有质量视为集中于一点的观点是正确的。他在证明中所使用的几何技巧，古希腊人都了解，而他同时期的科学家一定也都熟知。以此来完成这项证明很困难，但如今我们知道，早在写《原理》之前，牛顿就发展（或发明）了现在所谓的微积分的技巧，用微积分的技巧完成这项证明就非常简单。很多学者怀疑，牛顿事实上先用微积分解开了这个问题，然后才大费周章地用传统术语把这些步骤解释一遍，以便让其他科学家了解。如果真是这样，从某种角度来看，他是自食恶果。因为牛顿没有宣布他所发明的新的数学技巧，因而在他与德国数学家威廉·莱布尼兹（Wilhelm Leibniz，1646—1716）之间引发了一场激烈的争执；莱布尼兹也独立发明了微积分（今天所用的名称就是由他定的）。莱布尼兹发明微积分概念的时间晚于牛顿，但他很明智地立即将其发表了。这也是当时发明顺序何以引发激烈争论的部分原因（其他原因是因为两位主角都不愿让步，牛顿是个不好相处的人，他自视过高，并且会仇视他眼中的敌手）。然而谁先谁后的争论，在此无关紧要，重点是微积分能将问题分割成数学上好处理的小区块，而把计算得到的结果相加，就成了原来问题的答案。在球状物体重力作用的例子中，可以把球体切割（微分）成无数个无限小的物体，然后依据它们在球体中的位置，分别写下对应的重力作用方程式，而它们整体的作用就可以由这些方程式加总（积分）得出。

同样的处理技巧也适用于时间。比如说，一支箭的飞行轨迹可以被微分成在它飞行路径中无数的点的集合；想躲开这支箭的人，也可做同样的分析。这两个微分后的方程式合起来被积分，便可得知箭射中人的确定时间。微积分被广泛了解后，牛顿和莱布尼兹似乎驯服了时间，使得我们可以准确地描述运动物体的行为，如同古希腊人描述静止物体一般。至少在原则上，对于一个行星环绕一个恒星或是一个人试图躲开一支箭的问题来说，使用微积分则很简单。如同其他事物一样，当我们面对更复杂的系统时，基本原则仍旧适用，但处理起来也会更加复杂。通常我们可以很快地写出一组微分方程式来描述一个复杂系统，而麻烦往往是出现在对方程式求解（积分）的过程中。

不论1684年牛顿在私底下用的是什么数学方法，他在《原理》中利用科学家熟悉的技巧证明了，为了使行星以椭圆轨道环绕太阳运行（以使观测结果和理论一致），重力必须遵循反平方定律。说得具体一点，就是在一定距离下，两个物体产生的引力，会和物体质量的乘积除以距离的平方成正比（因此称为反平方定律）。公式中的比例常数就是重力常数，这个以G表示的数值告诉我们重力强度有多大，以简单的公式表示为 。 0zoYBeKk0Pc7JTW6mrUK1sQJAunmNfH9Ml37Xv+lj9wxOSSMIXlddm4NEtyQlOgu