牛顿在描述真实世界的特定性质时,也继承了伽利略广博精深的观念,就是刻意简化模型(如伽利略的绝对光滑的平面)。例如,牛顿对于重力与运行轨道研究的关键点在于,不论是火星、月球或一颗苹果,在计算万有引力时,他一概把物体质量视为集中在质心上;只要研究者在被研究物体之外,它的万有引力可根据研究者与物体质心(当物体是球形时,也被称为几何中心)之间的距离算出。牛顿在《原理》中证明,对于球状物体,上述说法依然成立。他知道地球不是正球体(他甚至可以算出地球在赤道附近因自转膨胀的程度),但他觉得把地球(以及太阳、火星等)视为正球体,是初步估算它运行轨道的合理假设。后来的计算印证了,即使是非常不规则的物体,如果你与它的距离够远,在重力表现上它的质量就好像集中于一点。但这无损于在适当时机利用理想的模型描述真实状况的重要性。
除了这个特别的故事,还有更令人目不暇接的情节。牛顿在《原理》中证明了,研究万有引力时,将一个球形物体所有质量视为集中于一点的观点是正确的。他在证明中所使用的几何技巧,古希腊人都了解,而他同时期的科学家一定也都熟知。以此来完成这项证明很困难,但如今我们知道,早在写《原理》之前,牛顿就发展(或发明)了现在所谓的微积分的技巧,用微积分的技巧完成这项证明就非常简单。很多学者怀疑,牛顿事实上先用微积分解开了这个问题,然后才大费周章地用传统术语把这些步骤解释一遍,以便让其他科学家了解。如果真是这样,从某种角度来看,他是自食恶果。因为牛顿没有宣布他所发明的新的数学技巧,因而在他与德国数学家威廉·莱布尼兹(Wilhelm Leibniz,1646—1716)之间引发了一场激烈的争执;莱布尼兹也独立发明了微积分(今天所用的名称就是由他定的)。莱布尼兹发明微积分概念的时间晚于牛顿,但他很明智地立即将其发表了。这也是当时发明顺序何以引发激烈争论的部分原因(其他原因是因为两位主角都不愿让步,牛顿是个不好相处的人,他自视过高,并且会仇视他眼中的敌手)。然而谁先谁后的争论,在此无关紧要,重点是微积分能将问题分割成数学上好处理的小区块,而把计算得到的结果相加,就成了原来问题的答案。在球状物体重力作用的例子中,可以把球体切割(微分)成无数个无限小的物体,然后依据它们在球体中的位置,分别写下对应的重力作用方程式,而它们整体的作用就可以由这些方程式加总(积分)得出。
同样的处理技巧也适用于时间。比如说,一支箭的飞行轨迹可以被微分成在它飞行路径中无数的点的集合;想躲开这支箭的人,也可做同样的分析。这两个微分后的方程式合起来被积分,便可得知箭射中人的确定时间。微积分被广泛了解后,牛顿和莱布尼兹似乎驯服了时间,使得我们可以准确地描述运动物体的行为,如同古希腊人描述静止物体一般。至少在原则上,对于一个行星环绕一个恒星或是一个人试图躲开一支箭的问题来说,使用微积分则很简单。如同其他事物一样,当我们面对更复杂的系统时,基本原则仍旧适用,但处理起来也会更加复杂。通常我们可以很快地写出一组微分方程式来描述一个复杂系统,而麻烦往往是出现在对方程式求解(积分)的过程中。
不论1684年牛顿在私底下用的是什么数学方法,他在《原理》中利用科学家熟悉的技巧证明了,为了使行星以椭圆轨道环绕太阳运行(以使观测结果和理论一致),重力必须遵循反平方定律。说得具体一点,就是在一定距离下,两个物体产生的引力,会和物体质量的乘积除以距离的平方成正比(因此称为反平方定律)。公式中的比例常数就是重力常数,这个以G表示的数值告诉我们重力强度有多大,以简单的公式表示为 。