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在此，我们不深入探讨统计力学，但可以利用一个类似先前盒中气体的简单例子（想象中的模型），来说明玻尔兹曼所使用的概率技巧的关键概念。回想一下，让我们困扰的是，虽然牛顿定律允许，但我们从不曾看过一个盒子中的气体全部集中于一半空间。气体会大致平均地散布到盒子中，这到底有什么特别的意义？为了方便体会，先假设盒中只有两个粒子，它们遵循牛顿定律，互相碰撞，并从盒壁反弹。如果我们随时观察盒内的景象，粒子会如何分布？盒子两半各有一个粒子的可能性有两种——A粒子在左而B粒子在右，或B粒子在左而A粒子在右；粒子共处于某半边的可能性也有两种——两者同时在左，或两者同时在右。
在这个条件下，盒中总共只有四种可能情况，如果每种情况发生的可能性都相同（没有理由不这么认为），则我们有25%的机会看到两者同时在左，有25%的机会看到两者同时在右，有50%的机会看到一边一个。在这个概率条件下，如果你在任何时刻观察盒子内部，看到任何景象都不会吃惊。
接着用四个粒子再做一次。为了简化问题，我们只将焦点集中于盒子的其中一半。一个粒子在左，其余三个在右的情况有四种（从A、B、C、D中每次只挑出一个粒子）。左边有两个粒子的情况有六种（AB、AC、AD、BC、BD、CD）。这时可以看到，盒子两边粒子数目相同的可能性大于一边只有一个粒子，概率是6：4。另外还有一种可能，就是左边一个粒子也没有（编注：原书此处的计算有些问题，读者可选择意会）。当粒子数目增加时，两边粒子均匀分布的概率也随之暴增。你可以随意用几个粒子进行试算，但如果以八个粒子为例，所有“气体”都在右边的情况也只有一种，但粒子平均分布在两边的情况却有70种。玻尔兹曼主张，我们会看到气体在盒中扩散而非挤在角落，因为前者发生的概率远大于后者。后者不是不可能发生，只是概率很小。
上述的简单描述，离玻尔兹曼的研究内容还差得很远。他推导出一道将熵与概率联结起来的数学公式，这个公式将统计力学以适当的量化形式表达了出来。我们希望能给读者一个大致的概念。关键点在于，到底有多少粒子在小盒里碰撞？而相对的，所有粒子集中于一端又是多么不可能。这个研究主轴，可回溯到1811年意大利科学家阿莫迪欧·阿伏伽德罗（Amadeo Avogadro，1776—1856）的研究，他宣称在同温同压下，同体积的气体具有相同的分子数。他提出，一个盒子里不论装的是什么气体，在定温定压下都会有数目一样的小硬球（我们现在用它们代表气体分子）在里面弹来弹去，它们撞击盒壁也互相碰撞。这些气体可以是氧气、二氧化碳或其他气体，或是像我们所呼吸的由好几种气体混合而成的空气，在此我们唯一关心的是分子的数目。
不难想象，要经过很长时间才有人确切算出在这个模型下的分子数目。比较让人惊讶的是，这段时间并不太长。可以得到答案的方式有好几种，在此我们要介绍的是奥地利科学家约瑟夫·洛施密特（Joseph Loschmidt，1821—1895）于19世纪60年代中期所使用的方法——在标准大气压与0℃的条件下，计算1立方厘米的气体所含的分子数（也称为洛施密特数，Loschmidt’s number）。他先假设气体中有很多没有被占用的空间，每个气体分子占据一块由效应半径所定义的空间，而气压可依平均自由路径、平均分子速度等条件，由动力理论求得。如果气体中只有一些大的分子，平均自由路径则较长；如果有很多小分子，平均自由路径则较短。要建立一个符合实际观察到的气压变化的模型，只要设定平均自由路径的值，或是所有分子数就足够了。如今测出的洛施密特数值为2.687×10
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，而这只是在0℃的海平面附近，1立方厘米的空气里所含的分子数——你大概不难想象，原子和分子有多么小。做个比较，银河系里有3×10
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个闪亮的星星，而从望远镜里观察，整个宇宙中大约也有相同数目的星系。将两者相乘，就可得到宇宙中所有闪亮星星的数目，大约是9×10
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个，也就是9000×10
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个。将这个数除以洛施密特数，结果大约为3公升多。也就是说，在寒冷的海平面附近，不到半公升的空气中
，就包含了与宇宙中明亮星星数目相同的分子。这些分子的密度很高，当它们以每秒460米的平均速度运动时，它们的平均自由路径只有百万分之十三米。将这么大的数字套进统计分析可以算出，如果想看到一个火柴盒大小容器内的气体通通聚到一边，你得等上比宇宙年龄还要长得多的时间。