下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
在哲学中，所谓“超级任务”（supertask）是指在有穷时间间隔内相继出现的可数无穷的操作序列；如果操作数目变成不可数无穷，则该任务变成为“超任务”（hypertask）。“超级任务”这个词是由哲学家汤姆逊（J.F.Thomson）创造的
，“超任务”这个词则源自于克拉克（P. Clark）和里德（S.Read）合写的论文
。
哲学家马克斯·布莱克设想了这样一台抛球机器
，该机器把一枚玻璃球在一分钟内从A盘送到B盘，然后在1/2分钟内再把玻璃球倒回A盘，在下一个1/4分钟又把玻璃球倒到B盘，如此往复，每次的时间都是该序列中前次的一半。于是，该机器来回抛球的时间依次是：1,1/2,1/4,1/8,1/16,……，1/2
n
……这个序列是收敛的，恰在两分钟时结束。结束时玻璃球在哪里？这取决于在无穷序列中n次抛球取奇数还是取偶数：若n取奇数时落在B盘，取偶数时落在A盘。可是，小球越抛越快，只有在经过无限次之后才会到达2分钟，但一个无限数是不能区分奇数和偶数的，可以说根本没有最后一次，故玻璃球在A盘和B盘两种可能性似乎都被排除了。但是，假如玻璃球不在A盘也不在B盘，它会在哪里呢？
在上面提到的那篇文章中，为了证明超级任务在逻辑上是不可能的，汤姆逊设想了一盏与普通的灯没有什么区别的灯，后来被叫做“汤姆逊灯”。它也由一个按钮开关来控制。按一下开关灯亮，再按一下灯灭。一个超自然的精灵喜欢这样把玩这盏灯：把灯拧开一分钟，然后关掉1/2分钟，再拧开1/4分钟，再关掉1/8分钟，再拧开1/16分钟，如此往复，由此得到一个无穷序列：1,1/2,1/4,1/8,1/16,……，1/2 n ,……该序列恰好在2分钟时结束。到2分钟的最后一个瞬间，该精灵按了无穷多次开关。现在的问题时，在这一系列过程结束时，那盏灯是开着的还是关着的？
按照物理学常识，这种灯是不可能的。然而，我们的想象力可以不受普通物理学的束缚。关于此灯的操作描述已经达到了最大的逻辑精确性。为了判定该灯是开着还是关着，我们已经获得了全部必要的信息。并且，在过程结束时，该灯要么开着要么关着，这一点似乎也是确定无疑的。
但是，回答关于汤姆逊灯的问题却是荒唐的，因为该问题等价于判定最大的整数究竟是偶数还是奇数。由于整数序列是无穷序列，故没有最大的偶数，也没有最大的奇数。同样地，汤姆逊论证说，在2分钟时，该灯不可能是开着的，因为没有一个时刻，该灯在该时刻是开着的而不会被立即关掉；该灯也不可能是关着的，因为没有一个时刻，该灯在该时刻是关着的而不会被立即拧开。所以，该灯在该时刻既不是开着的也不是关着的，而这与假定的情形矛盾。所以，汤姆逊灯在逻辑上是不可能的。
但也有人如贝纳塞拉夫（Paul Benacerraf）认为，超级任务在逻辑上还是可能的。他同意汤姆逊的说法，所概述的实验并未决定灯在2分钟时所处的状态，如开着还是关着。但是，他与汤姆逊的分歧在于：他不认为由此可以导致矛盾，因为灯在2分钟时的状态不必由先前的状态所逻辑地决定。从逻辑上说，在2分钟时，该灯可以是开着的，也可以是关着的，甚至可能彻底消失了。不能预先排除这些逻辑的可能性。
在一间屋子里同步运行圆周率机和汤姆逊灯。圆周率机是一种神奇的机器。当开启后，它立即通过高速计算得到圆周率的各位数字：3.141592653……它计算圆周率的每一位数字所需时间是计算上一位数字的时间的一半，即是说，如果计算第一位数字需要30秒，计算第二位数字则只需15秒，第三位7.5秒，如此递推。每当通过计算得到一位数字时，该数字立即弹入机器顶端的一个窗口内。在任一时刻，只有刚经计算得到的数字才会弹入窗口内。所有计算在一分钟内完成，由此得到一个收敛的序列：1/2,1/4,1/8,1/16,……，1/2 n ,……在一分钟结束时，该机器将正确地显示圆周率的最后一位数字，并且，在闪烁的照明下可以见到圆周率的所有奇数位数字。但是，这是不可能做到的事情，圆周率是一个无穷数列，它根本没有最后一位数字，也不可能显示其中的所有奇数位的数字。
亦称“罐与球问题”
，它有附加各种限制条件的多个变体。
假设有一个罐子，它能够装标号为1、2、3,……的无穷多个弹子球。在时间t=0时，从1到10的弹子球被放进罐内，标号为1的弹子球被从罐中取出。在t=0.5时，标号从11到20的弹子球被放进罐内，标号2的弹子球被从罐中取出。在t=0.75时，标号从21到30的弹子球被放进罐内，标号3的弹子球被从罐子中取出。一般地说，在t=1-0.5 n 时，标号从10n+1到10n+10的弹子球被放进罐内，编号n+1的弹子球被从罐中取出。问题：在t=1时，罐内有多少个弹子球？或许有人会说，这个问题显然是荒谬的，因为这个过程需要耗费无穷的时间，我们不可能等到那个时候。那么，可以换一个问法，避开所需时间无穷的问题：在差一分钟到正午12点时进行第1次操作，在差30秒（1/2分钟）到正午12点时进行第2次操作，在差1/2 n-1 分钟到12点时进行第n次操作。那么，到12点的时候，罐内有多少球呢？
看似简单的问题，却出现了不同的甚至是相互矛盾的答案，故称其为“悖论”。最直观的答案是：罐内应该有无穷多个弹子球，因为在12点之前，每一步与先前的步骤相比，所放入的球都比取出的多9个，因此，对于任一步骤n,n步时罐内球的数量是9n。在经过无穷多步骤之后，罐内应该有无穷多个球。但数学家阿利斯（V. Allis）和科伊特赛（T. Koetsier）却认为，12点时罐内没有球，因为我们第1次放进1至10号球，然后取出1号球，第2次放入11至20号球，然后取出2号球，以此类推。请注意，n号球总是在第n次操作时被取出，因此无限次操作下去，每个球都会被取出来！但有人发现，这个说法有问题：前面的证明假设我们取出的依次是1号球、2号球、3号球等，如果我们改成依次取10号球、20号球、30号球，则最后罐内又出现无穷多个球了。有些人这样回答，把该问题的解看作无穷序列求和：10-1+10-1+10-1+……，这可以重新排列成一个等价序列：1-1+1-1+1-1+……这样一个和是不确定的，该序列可以如此排列，以至产生我们想要的任一整数和。所以，该问题没有惟一的数学解。但亨利（J.M. Henle）和提莫茨克（T. Tymoczko）却认为，罐内恰好有n个球。具体算法如下：令i表示已经发生的操作的数量，令n表示希望得到的最后留在罐内的球的数量。对于i=1至正无穷，如果i≤n,则取出罐内编号2i的球；如果i>n,则取出编号n+i的球。很显然，n步之前的奇数号球没有被取出，而所有其编号大于等于2n的球被取出。所以，罐内恰好有n个球。当然，还有其他不同的回答。 [1]
伯纳德特（J. Bernardete）设想，“一个人从a点出发走一英里。有无穷多个神，每一个神都不认识其他的神，他们都打算阻止那个人达到目的地。当那个人走到半英里处时，一个神会设置一道栅栏阻止他进一步前行。当那个人走到1/4英里处时，第二个神会设置一道栅栏阻止他前行。当他走到1/8英里处时，第三个神会设置一道栅栏阻止他前行，如此类推，以至无穷。于是，那个人甚至不能开始行走，因为无论他行走多么短的距离，他都会被一道栅栏所阻挡。但这样一来，就根本不会出现栅栏，以至于没有任何东西会阻止他出发。仅仅由于多个人的那些未实施的意图，那个人就被迫停在他实际所处的位置上。”
下面转述雅布罗对这个悖论的消解。
显然，我们自己的世界没有这样的神。但是，所有这些神能够形成它们的意图，并且能够设置阻挡系统，这一点至少在原则上是可能的，并没有被逻辑所排除。但雅布罗分析说，这是一个幻觉。设想那些神躲在那条路沿途某处，从而确保那个人走到某处时，已经在该处设置了一堵墙。但这种阻挡系统不能存活下来以供测试。因为，如果那个人离开A处，无论他走了多短的距离，一堵墙已经设置起来以便阻止他走到该处。假定一堵墙设置在p点，当且仅当那个人走到p点；所以，当且仅当在p点之前没有设置任何墙。在A处之外，没有可以设置一堵墙的第一个点。这就是说，点的序列……，1/64,1/32,1/16,1/8,1/4,1/2有终点但无开端。如果该序列有第一个点，那个人就能够在被阻挡之前走到那里。但是，在由A出发的那条路上的任何一个点上，都有一个神意图设置一堵墙；而在这个点之前都有无穷多个点，在其中每一个点上，如果那个人走到那里，某个神意图设置一堵墙。这样一个阻挡系统在整体上不会像所设想的那样发挥作用，因为：如果那个人开始走，并非神的所有意图都能够实现。记住，实际上，每个神在他所处的位置意图设置一堵墙，当且仅当，没有更靠近A的墙已经设置起来。因为假设那个人开始走了，或者设置了至少一堵墙，或者根本没有任何墙。如果已经有一堵墙，一个神将已经设置了它，尽管已经设置了更靠近A的墙；如果没在任何点上设置一堵墙，每一个神都会没有设置它的墙，即使该点的前面没有墙。而这样的规定在逻辑上是有毛病的；一旦我们明白了这一点，多神悖论就消失了。
这个悖论亦称“传记悖论”，由罗素提出。特里斯特拉姆·杉迪（Tristram Shandy）是斯特恩（L. Sterne）的9卷本幽默小说《杉迪传》（第一卷出版于1759年，其他各卷出版于1760年代）的主人公，他是一位健谈的故事讲述者。罗素写道：“如我们所知，特里斯特拉姆·杉迪用了两年时间来记录他生活中头两天的历史，然后他抱怨道，按照这个速度他永远也写不完。但是我认为，如果他可以永远活下去，且坚持不懈地写下去，那么，即使他的一生始终像开端那样充满了需要记录的内容，他的传记也不会遗漏任何部分。”
罗素的论证大致是这样的，其中假定了“时间在未来方向是无限的”。假设杉迪生于1700年1月1日，而他的自传写作开始于1750年1月1日。写作的头一年（1750年）记录他出生头一天的事情，写作的第二年记录出生第二天的事，第三年记录第三天的事，以此类推。于是，我们得到如下的一一对应表：
对于杉迪生命中的任何一天，杉迪都可以用他生命中后来的一年去记录，正是在这个意义上，罗素说“杉迪的传记不会遗漏任何部分”。不过，杉迪的写作将越来越滞后，例如，第101天和第102天的事情必须等到约一个世纪之后才能写，而第1001天和第1002天的事情，要等一千年之后才能写。并且，上面的一一对应还需要满足一些先决条件：时间将沿着未来的方向无限延伸；杉迪不会死，他能够永远活下去；杉迪有足够好的记忆力，能够记忆几百年、甚至千年以前在他的生活中所发生的事情，如此等等。
克雷格（W.L.Craig）提出了杉迪悖论的颠倒版。
假定时间在过去的方向上是无限的，且杉迪已经写作了无穷长的时间。即使在这种情况下，在年与日之间也存在一一对应，杉迪应该刚刚写完他的传记的最后一页。但克雷格论证说，这是荒谬的。既然杉迪要花一整年的时间去记录昨天的事情，他如何能够已经把昨天的事情记录下来呢？因此，克雷格认为，时间在过去的方向上不可能是无穷。
斯莫尔（R. Small）在1986年对颠倒版的杉迪悖论做了分析
，所得到的结论是：不可能在特定的一天和特定的一年之间建立一一对应。假定现在是1985年12月31日午夜，杉迪刚刚完成他的手稿的最后一页。在过去一年里发生了很多的事情，杉迪所记录的是哪一天的事情？最多是1984年12月31日的事情，因为杉迪要用一年时间去记录某一天，所以他在1985年不可能去记录在1985年某一天所发生的事情。但这样一来，所留下的问题是：1984年12月30日所发生的事情，由哪一年来记录呢？按照题设，应该由1985年的前一年即1984年来记录；但同样按照题设，那一天又不可能由1984年来记录，因为杉迪不能在一年内记录当年所发生的事情。矛盾！实际上，这种情形具有一般性：在过去某一年和过去某一天内无法建立满足要求的一一对应，杉迪一直在写的那一天向过去无穷倒退，他不可能是过去的任何一天。斯莫尔由此做出结论：假设过去的时间是无限的，杉迪也一直在写，那么，杉迪将留下无穷多的未完成的写作任务。他最近完成的手稿所记录的是无穷远的过去的事件。
实际上，解决杉迪悖论的办法很简单：罗素没有说杉迪会完成他的传记，而只是说：假如时间在未来的方向无限延伸的话，我们无法找到杉迪不能记录的某一天。斯莫尔则应该说，杉迪传记的最后一页永远不会完成，它只是一个遥不可及的海市蜃楼！
有一个古老的问题：世界上究竟是先有鸡还是先有蛋？
一种回答是：当然是先有鸡。但根据进化论，刚开始时它不是鸡，而是别的动物，后来它们的繁衍方式发生了变化，变成卵生的，才有了蛋。还可以追溯到更远：最初没有卵生动物，很多生物是无性繁殖分裂的，后来慢慢才进化成卵生的或哺乳的动物，所以按道理讲，应该先进化成生物本体，才可能有蛋的由来。但对此的异议是：“蛋”有可能来自外星球，后来适应环境而孵化，随后在地球繁衍，由此形成了“鸡生蛋、蛋又孵化成鸡”的循环。
蛋和鸡这个古老的问题是“无穷倒退”最普通的例子。老人牌麦片往往装在一个盒中，上面的画是一个老人举着一盒麦片，这个盒上也有一张画有一个老人举着一盒麦片的小画片。自然，那个小盒上又有同样的画片，如此以往，就像一个套一个的无穷连环套一样。中国民间也有一个广为流传的故事：从前，远处有座山，山上有座庙，庙里有两个和尚，老和尚在给小和尚讲故事，他讲的故事是这样的：从前，远处有座山，山上有座庙，庙里有两个和尚，老和尚给小和尚讲故事，他讲的故事是这样的：从前，远处有座山，山上有座庙，庙里有两个和尚，老和尚给小和尚讲故事……
爱尔兰作家乔纳·斯威夫特（Jonathan Swift）在一首诗中描写了关于跳蚤的无穷倒退，英国数学家德摩根（Augustus de Morgan）把它改写成：
大跳蚤有小跳蚤
在它们的背上咬，
小跳蚤又有小跳蚤，
如此下去
没完没了。
大跳蚤倒了个儿——变小
上面还有大跳蚤，
一个上面有一个，
总也找不到
谁的辈数老。
据新近报道，困扰人类的世纪谜题“鸡生蛋还是蛋生鸡”终于有了答案。英国科学家称：先有鸡后有蛋。他们解释道，鸡蛋只有在一种化学物质的催化下才能形成，而这种物质只存在于鸡的卵巢内。研究发现，这种化学物质是名叫OC-17的蛋白质，它起到催化剂作用，加速蛋壳的形成。而蛋壳就好比是蛋黄的家，保护着蛋黄最终变成小鸡。科学家通过电脑技术不断放大观察鸡蛋的形成过程，发现OC-17在鸡蛋的形成初期起着至关重要的作用。在OC-17蛋白质的作用下，碳酸钙转化为形成蛋壳的方解石。科学家认为，这个发现除认识到鸡是如何孕育出蛋以外，还有助于研发新型材料或程序。
在《镜中世界》中，刘易斯·卡罗尔（Lewis Carroll）写道：
“陛下真不该这样大声地打呼噜。”爱丽丝醒了过来，一边揉着眼睛，一边对小猫说。她的声音充满了尊敬，但也显得有些严厉。“你把我从，哦，多么美妙的一场梦里唤醒过来。你一直都跟着我，小黑猫——一直跟我在梦中世界里漫游！你知道吗？我的小乖乖？”
……
“好了，小黑猫，我们现在来认真考虑一下，到底是谁做了那场梦。这是一个严肃的问题。……对了，小黑猫，一定是我或是红方国王做的那场梦。当然，他是我梦中的一部分——但是，我也是他梦中的一部分！真是红方国王吗？亲爱的，你做过他的妻子，你是应该知道的——哦，小黑猫，替我解答这个问题。……”
《镜中世界》第4章写道：爱丽丝碰到了红方国王。国王睡着了，特威弟告诉爱丽丝，国王正梦见她，她只是国王睡梦中的人，实际上是不存在的。“要是躺在那儿的国王醒来的话”，特威哥也凑上来说，“你就会——啪的一声——像支蜡烛一样熄掉了！”
爱丽丝所担忧的是：我在做梦，梦见了红方国王。可是他睡着了，却梦见我正做着关于他的梦。啊，我的天！这样梦下去哪有个完，并且到底是国王是她梦中的事物，还是她是国王梦中的事物？哪一个是真实的？或者两个都不是真实的，都只是梦中事物？
实际上，爱丽丝的思考早在中国先哲那里就出现了。最典型的是庄子，他那里有多个关于梦的故事：
昔者庄周梦为胡蝶，栩栩然胡蝶也。自喻适志与！不知周也。俄然觉，则蘧蘧然周也。不知周之梦为胡蝶与？胡蝶之梦为周与？周与胡蝶则必有分矣。此之谓物化。（《庄子·齐物论》）
梦饮酒者，旦而哭泣；梦哭泣者，旦而田猎。方其梦也，不知其梦也。梦之中又占其梦焉，觉而后知其梦也。且有大觉而后知此其大梦也，而愚者自以为觉，窃窃然知之。“君乎！牧乎！”固哉！丘也与女皆梦也，予谓女梦亦梦也。是其言也，其名为吊诡。万世之后而一遇大圣知其解者，是旦暮遇之也。（《庄子·齐物论》）
双重梦引出了哲学上关于真实性的深刻问题。罗素曾这样谈到爱丽丝的梦：假如它不是以幽默的笔调写成的，我们就会发现它太令人痛苦了。
[1] 参见Clark, M. Paradoxes from A to Z, 2 nd edition,Routledge,2007,pp.147—148;“Ross-Littlewood Paradox,”in http://en.wikipedia.org/wiki/Ross%E2%80%93Littlewood_paradox#cite_note-1。