第二节
数理金融学的结构框架

完整的现代金融学体系将以微观金融学和宏观金融学为理论基础，扩展到各种具体的应用金融学学科上，而数理金融（同时辅助以实证计量）的研究风格将逐渐贯穿整个从理论到实践的过程。

一、微观金融学与宏观金融学

金融学是研究如何在不确定性的环境下，通过资本市场对资源进行跨期最优配置的一门经济科学。可以说，金融学是专门研究不确定性和动态过程的经济学，它同正统经济学在学科研究内涵和基本方法论上存在某种相似性。由于其特殊的研究对象（货币、金融现象），金融学得以作为一门独立的经济学科存在。

从金融学思想的发展历程可以看出，早期的古典经济学家关心整体价格水平（如货币数量理论）、利息率决定和资本积累过程等问题，他们更多的是在宏观的意义上考察金融问题的。新古典后期的经济学家们，则通过利息理论把宏观金融问题与一般经济问题（如经济增长和经济危机）紧密结合在一起考虑。等到凯恩斯革命时，顺理成章地，它不但确立了现代宏观经济学，也标志着现代宏观金融学的形成，从此宏观金融学的核心内容——货币理论也同时成为宏观经济学的重要内容。

微观金融学一般被认为出现在20世纪50年代中期，如同新古典经济学（也即后来的微观经济学），它也是一种价格理论，它认为使得资源（跨期）最优配置的价格体系总是存在的，它的目标就是寻找使得资源实现最优配置的合理（金融资产）价格体系。宏观金融学则是在资源非有效配置（即自由价格机制在某种程度上失灵）的情况下，对微观金融学（也即新古典金融学）的一种现实扩展，尽管获得这种认识的历史顺序与逻辑顺序正好相反（同经济学相比较而言）。

微观金融学主要考虑金融现象的微观基础。它研究如何在不确定情况下，通过金融市场对资源进行跨期最优配置。这也意味着它必然以实现市场均衡和获得合理金融产品价格体系为其理论目标和主要内容。它的一个重要任务被认为是为资产定价。在初步引入不确定性、时间等一些基本概念后，为了呈现理性决策的基础，需要建立个人偏好公理体系和效用函数理论。然后考察个人如何做出投资/消费决策，以使得个人终身效用最大化。微观金融学的另一个方面是生产者的融资行为理论，即企业如何做出它们的投资/融资决策，通过合理的资本结构安排，使得所有者权益最大化。资金的供给者（投资者）和需求者（融资者）最终在资本市场上相遇。当市场均衡时，资产的价格和数量必须同时被决定。

宏观金融学研究在一个以货币为媒介的市场经济中，如何获得高就业、低通货膨胀、国际收支平衡和经济增长。可以认为宏观金融学是宏观经济学（包括开放条件下）的货币版本，它着重于宏观货币经济（包括开放条件下）模型的建立，并通过它们产生对于实现高就业、低通货膨胀、高经济增长和其他经济目标可能有用的货币政策结论和建议。货币经济学是整个宏观金融学的核心内容，货币只是众多的备选金融资产中的一种。在新货币主义的框架下，问题可以简化为既定收入（恒久收入）、财富约束下个人资产配置的均衡问题，或者既定价格（资产收益率）体系下收入（参数）扩张的路径问题，从而在IS-LM框架中决定了利息率和国民收入之间的关系。

在国际金融领域，大规模的资本流动使得外部平衡的传统定义有了更新，基于资产选择方法的汇率理论开始被普遍接受，以蒙代尔-弗莱明（Modell-Fleming）模型的出现为标志，整个经济的内部、外部均衡开始被紧密地联系在一起考虑。这也同时意味着开放的货币经济的整体均衡有可能通过适当的政策协调得以实现。这种协调既出现在一个经济的内部，也出现在不同经济之间。由于始终存在着看待问题的不同角度和不同的研究风格，因而在一些重要的金融问题（如通货膨胀、汇率管理、市场干预）上，总是会有不同货币政策和争论产生，这也构成了宏观金融理论的一个重要也是必然的组成部分。

二、数理金融学在金融学科体系中的地位

现代金融学体系必须对于现有各金融学分支学科提供足够的兼容性，而且最重要的是，它必须提供一个开放的学科结构，以适应飞速发展的金融理论和实践创新的需要，尤其体现在金融学这门学科的主要研究方向和内容以及主要使用的数学工具和方法的运用上。

在微观层面上，投资学研究如何把个人、机构的有限财富或者资源分配到诸如股票、国库券、不动产等各种（金融）资产上，以获得合意的现金流量和风险与收益。它的核心内容就是以效用最大化准则为指导，获得个人财富配置的最优均衡。

金融市场学分析市场的组织形式、结构，同时考察不同的金融产品和它们的特征，以及它们在实现资源跨期配置过程中起到的作用。它们的合理价格是这种研究中最重要的部分。

公司理财考察公司如何有效地利用各种融资渠道，获得最低成本的资金来源，并形成合适的资本结构。它会涉及现代公司制度中的一些诸如委托-代理结构的金融安排等深层次的问题。

金融经济学同经济学面临的任务一样，它试图通过对个人和厂商的最优化投资与融资行为以及资本市场的结构和运行方式的分析，去考察跨期资源配置的一般制度安排方法和相应的效率问题。

在宏观层面上，货币银行学的核心内容是货币供给和需求、利率的决定以及由此而产生的对于宏观金融经济现象的解释和相应的政策建议。它是主流宏观经济学的一种货币演绎。

国际金融学本质上是开放经济的货币宏观经济学，因而它往往被认为是货币银行学的一个外延和必然组成部分。在经济全球化进程中，它主要关心在一个资金广泛流动和灵活多变的汇率制度环境下，同时实现内外均衡的条件和方法。

数理金融学则显得比较独特，与其说它是一门独立的学科，倒不如说它是作为一种方法存在。它主要使用一切可能的数学方法，来研究几乎一切金融问题，特别是复杂产品定价和动态市场均衡。类似的学科还有金融市场计量经济学，本质上它属于计量经济学，它是基于实际数据，以统计计量的方法为各种金融模型和理论提供校验（验伪）手段和方法。

近年来，推动金融学与数学相结合的主要动力是金融工程学的发展，金融工程学侧重于衍生金融产品的定价和实际运用，它最关心的是如何利用创新金融工具，来更有效地分配和再分配个体所面临的形形色色的经济风险，以优化他们的风险与收益特征。

数理金融学是金融工程学的理论基础，可以说，金融工程学就是把数理金融学的基本原理工程化、产品化。前者是基础理论，后者是理论的应用。金融工程学的核心内涵包括两个方面：一是如何组合已有的金融产品，以改变原有金融产品的风险与收益特性，从而达到有效地利用与开发风险、实现金融交易收益最大化的目的。能否通过金融产品的不同组合来实现开发风险、提高收益的目的，关键在于能否精确地刻画与预测金融产品的风险与收益变化的规律。二是开发新的金融产品。开发新的金融产品，说到底就是根据市场的需要创新出具有新的收益与风险特性，或者能对已有产品形成替代，或者可与已有金融产品结合而产生更令人满意的风险与收益特性，或者能适应某种特殊需要的新金融品种。总之，金融工程学的关键是要能定量地精确刻画出金融产品的风险。要实现这样的目的，除了应用数学工具与思维方法之外，别无他径。同时，在精确地刻画金融产品风险的基础上，如何进行金融产品组合，仍然是一个应用数学工具与思维方法的问题。因此，数理金融学与金融工程学两者是相互依赖和促进的。金融工程学的发展不断为数理金融学提出新的研究课题，促进了数理金融学的发展；另一方面，数理金融学的发展也日益拓宽金融工程学的创新空间，不断为金融工程学提供新的理论和方法。

综上所述，金融学的这些分支学科所考察的金融现象发生在不同的层次之上，并存在着某种分工。各种分支学科之间的固有联系正日益变得有机、清晰，并紧密统一在一个完整的框架结构中。图1-1提供了一份比较完整的现代金融学学科构成图。当然，由于实践的快速发展和学科的开放性质，它将不断得到进一步的充实和扩展。

三、数理金融学的结构框架

构建一门学科是为了更全面和更系统地研究它。目前数理金融学科体系缺乏一种提纲挈领和统一的基础理论框架。它也最大限度地使用现代数学提供的有力工具，这主要是指随机过程理论，因而它是一门建立在金融学和数学基础上的专门解决不确定性和动态问题的经济学分支学科。它为金融学提供方法论基础。同时，它和几乎所有金融实践工作紧密地联系在一起，它的大量成果被直接应用到金融市场第一线。本书的框架结构和基本内容主要从以下几个方面展开。

第一部分是数理金融方法基础篇，包括第2章和第3章，阐述了数理金融的基本数学方法和计量经济学在数理金融中的应用，重点讲述了微积分、线性代数、概率论、计量经济学等在数理金融中的应用。例如，运用指数、对数函数计算连续复利和实际利率、银行按揭贷款、分期付款、银行贴现以及时间最优问题；运用微分方法测度边际效用函数、经济函数最优化、中间产品划拨价格；运用积分方法测度净投资的时间积分、消费者剩余和生产者剩余；运用微分方程和差分方程，决定动态平衡点和投资函数，制定滞后收入决定模型；运用矩阵方法，进行IS-LM分析，决定市场均衡模型，测度证券组合收益率和风险；运用雅可比行列式判断函数的相关性；运用海赛行列式最优化测定最优化解；运用随机过程研究无穷多个随机变量的方法；运用计量经济学的一元回归方程和多元回归模型、协整的基本理论、基本方法对金融相关问题进行分析。

第二部分是数理金融方法核心篇，包括第4章到第6章，阐述了资本资产定价模型和期权定价模型。资产组合理论是20世纪50年代由马科维茨首先提出，后来由夏普、罗斯等人进一步完善和发展为资本资产定价模型。它揭示了如何运用组合理论来确定一条可供投资者选择的有效边界，使得边界上的每一个点都符合在给定风险水平下具有较大收益的特点。

马科维茨在前人的研究成果基础上，创立了“均值-方差”分析框架以及投资者行为规范模式。马科维茨认为，投资者的一个最优资产组合——在既定方差水平上有最大的收益率或在既定的收益水平上有最小的方差——将是一个均方差有效率的资产组合，并将投资者的资产选择问题转为一个给定目标函数和约束条件的线性规划问题。

在研究投资者行为时，马科维茨借用了消费者行为理论（效用论）中的无差异曲线的概念，只不过将坐标系中的两种商品换成了预期收益率和标准差（风险）。同样，类似于消费者行为理论中的消费者预算线（消费可能线），马科维茨提出了“可行域”和“有效边界”的概念。类似于消费者行为理论中的消费者均衡，马科维茨通过有效边界和投资者的无差异曲线构建了投资者均衡，无差异曲线与有效边界的切点就是投资者最满意的投资组合，这是马科维茨均值-方差模型的理论思想。但是，并不像消费者行为理论那样，接下来推导消费者需求曲线，均值-方差模型并没有因此推导个别投资者或整个市场投资者的需求曲线，因为“可行域”已经描述了投资者所有的选择范围，“有效边界”描述了投资者依据预期收益和风险关系可能选择的有效组合，接下来不同的投资者再依据各自的预期收益和风险偏好在有效边界上选择自己最满意的投资组合。马科维茨均值-方差模型对单个投资者的行为进行了规范性的描述。马科维茨均值-方差模型是投资者最优资产选择行为的纯理论模型，它研究了单个投资者在追求效用最大化情况下的行为模式，为现代股票定价理论奠定了基础。

20世纪60年代以后发展起来的资本市场理论研究的不是单个投资者的行为，而是全部投资者的行为。准确地说，是研究遵循马科维茨均值-方差分析框架所描述的单个投资者行为模式的所有投资者共同行动将导致怎样的市场状态。资本市场理论主要说明了如果投资者已经按照资产组合理论构建了证券组合，证券的收益和风险之间应该存在什么关系。在给定风险后，从风险收益关系可以求出证券资产的预期收益率；知道了预期的现金流和预期收益率，再把预期收益率作为贴现率就能够定出证券资产的理论价值。所以，一般把描述风险收益关系的模型称为资产定价模型。其实，资产定价模型不是直接给资产定价，而是给资产确定一个与风险匹配的贴现率。确切地说，资产定价模型给出了估计权益资本成本的方法。资本市场理论与马科维茨创立的资产组合理论共同构成现代股票定价理论，理论界也把资产组合理论和资本市场理论合称为风险与收益理论，因为这两个理论都是研究预期收益与风险的理论。资本市场理论中的一些定价模型在金融投资界产生了重大影响，如资本资产定价模型、多要素资本资产定价模型和套利定价模型等，这些模型预测了投资者获取一项资产时所要求得到的预期收益，回答了投资者要求获得多少风险溢价的问题。

从投资者行为的角度看，资本市场理论假定人们的决策是建立在理性预期、风险回避、效用最大化以及相机抉择等假设的基础之上。资本市场理论试图通过描述投资者最优决策行为模式下收益与风险的权衡关系，来解释投资者最优决策行为对证券资产价格的决定，这是证券资产价格决定理论要解决的首要问题。如果整个证券市场投资者的实际决策行为与最优决策行为是一致的，则资本市场理论中的均衡定价模型就可以很好地估算证券资产与风险相匹配的收益率，再通过预测这些证券资产的预期现金流，就可以通过折现的方法给证券资产定价。

20世纪60年代末，金融经济学的数学模型在莫迪利亚尼、米勒、马科维茨、夏普、罗斯等人的研究下形成了良好的基础。这些数理经济学家后来都因此获得了诺贝尔经济学奖。

数理经济学出现的重大突破，就是布莱克和斯科尔斯为期权定价提出了极为著名的布莱克-斯科尔斯公式。期权就是在某个时刻以某种确定的价格购买某种证券的权利。如果把期权买卖可能的收益与无风险的短期银行利息作比较，就能将期权定价问题归结为一个随机微分方程的解，从而可导出一个与实际相吻合的计算公式。这项重大的突破推动了无数有关证券定价的新研究，尤其是在数学理论上大大激发了人们对随机控制问题的研究兴趣。相当多的研究立即被投入应用，它使人们能通过数学分析来发现投资时机与不确定性之间错综复杂的关系。这就使金融市场发生了直接而深刻的变化，从而宣告了数理金融学（亦称金融数学）的诞生。

在证券市场上，有效市场假说于1970年基本被学术界接受，随后几年也得到了投资界的接受。从1936年凯恩斯的“动物精神”到20世纪70年代有效市场假说的“理性投资者”，学术界在投资者行为分析的理论研究范围上发生了重大转变。有效市场假说所反映的是价格充分反映所有可以得到信息的理想状态，实际上体现了竞争均衡的思想，是亚当·斯密（Adam Smith）“看不见的手”在金融市场中的延伸，这样投资者就不能利用某些分析模式或信息，始终如一地在证券市场上获得超额利润。最早使用统计方法分析收益率的是路易·巴舍利耶（Louis Bachelier）。1920年他把本用于赌博的方法用于股票、债权、期货和期权。从20世纪40年代末起，统计分析用于股票市场开始受到重视， 1964年，库特纳（Cootner）在他编撰的经典文集《股票市场价格的随机性》里收集了一批成为有效市场假说基础的文章，该书为1965年由法玛形式化的有效市场假说思想提供了理论基础，书中包含了奥斯本（Osberne）1964年论文中形式化的关于股票价格遵循随机游走的主张。奥斯本提出了一系列关于投资者对于价值看法的假定：投资者根据他们的期望价值或预期收益率来估计股票，而期望价值是可能的收益率的概率加权平均值，在此，投资者是以理性和无偏的方式设定其主观概率的。法玛于1965年提出并形成了有效市场假说，主张信息不能被用来在市场中获利，而且有效市场的概念被用来质疑基本分析和技术分析。法玛勾勒了人完全理性时精妙有序的“有效市场”，提供了金融市场分析的基准，并于2013年获得诺贝尔经济学奖。

第三部分是数理金融方法应用篇，包括第7章和第8章，阐述了数理金融方法在金融风险管理和宏观金融研究方面的应用。

该部分首先阐述了数理金融方法在金融风险测度与分析中的应用。金融风险是指由于金融市场因素发生变化而对企业的现金流产生负面影响，导致企业的金融资产或收益发生损失并最终引起企业价值下降的可能性。例如，利率、汇率或者商品价格的波动，以及由于债务人财务状况恶化而导致违约的可能性等，都会给企业的资产价值和收益带来风险。其中重点讲述了VaR（在险价值）分析方法。VaR是指在正常的市场条件和给定的置信度（通常是95%或99%）下，在给定的持有期间内，某一投资组合预期可能发生的最大损失；或者说，在正常的市场条件下和给定的时间段内，该投资组合发生的VaR值损失的概率仅为给定的概率水平。其次对价格的波动性进行测算。其中重点介绍了GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）、历史模拟法和蒙特卡洛模拟法。GARCH是一般化条件自回归的异方差，回报的波动呈现出集聚性和爆发性，可称该回报时间序存在条件异方差。GARCH模型对条件异方差的建模采取的是自回归方法。历史模拟法采用的是全值估计方法，它要求收集某一特定历史时期的数据，根据市场因子的未来价格水平对头寸进行重新估值，计算出头寸的价值变化，然后将组合的损益从小到大排序，得到损益分布，通过给定置信度下的分位数求出VaR。蒙特卡洛模拟法亦称随机模拟法，其基本思想是：为求解经济金融等方面的问题，首先建立一个概率模型随机过程，使其参数等于问题的解；然后通过对模型或过程的观察，计算所求参数的统计特征；最后给出所求问题的近似值，解的精度可用估计值的标准误差表示。

金融风险管理理论的最新进展即整体风险管理（TRM）系统，就是在现有风险管理系统的单一变量（即概率）的基础上引进另外两个要素（即价格和偏好），谋求在三要素系统中达到风险管理上客观量的计量与主体偏好的均衡最优。这样不但可以对基础金融工具风险进行管理，而且也可以管理衍生工具可能带来的风险，从而实现对风险的全面控制。三个要素在TRM系统中都是关键性的：价格是经济主体为规避风险而必须支付的金额，概率用来衡量各种风险（包括衍生交易本身的风险）的可能性，而偏好决定经济主体愿意承担和应该规避的风险的份额。

数理金融方法在宏观政策分析方面的应用也有较大发展。动态随机一般均衡模型（DSGE模型）作为有力工具，为政策分析及决策提供了一个统一的方法。它可以帮助央行识别经济波动的原因，回答有关经济结构的问题，预测政策变化的效果，以及进行一些测试。同时，DSGE模型也为经济的结构性特征和简化的经济参数之间构建了桥梁。但是，DSGE模型作为政策工具的实用性和合理性尚需证明。

图1-2（见第14页）勾画出了数理金融学的结构框架。