数理金融基础最新章节_张元萍著

第二节
线性代数在数理金融中的应用

线性代数可以用简明方式表示复杂的方程系统，提供简便方法验证方程组解的存在与否，它丰富了方程系统的求解方法。但线性代数只用于线性系统，由于许多经济关系可以由线性方程来近似，也可以转换为线性关系来分析，因而数理金融中大量应用线性代数的方法。

一、矩阵在数理金融中的运用

矩阵是数、参数或变量的矩阵排列，通过矩阵的加减乘除运算，以及矩阵转置、逆矩阵的相互关系，可以求解线性方程组，解决相关计算问题。

在证券组合分析中，由于证券种类繁多，需要运用矩阵方法测度多种证券组合的收益率和风险。

例2-11 某证券组合由一个风险证券组合和一个无风险证券构成。风险证券组合中包括两个证券A和B，它们的预期收益率E （R ₁ ）和E （R ₂ ）分别为10%和8%。证券A的方差为，证券B的方差为，协方差 σ _AB =50，两种证券权重（ω ₁ 和 ω ₂ ）均为0.5。无风险证券的预期收益率为5%，在证券组合中的权重（ω _f ）为0.25。要求计算该证券组合的总预期收益率和总风险。

解已知

原组合预期收益率

总组合预期收益率

原组合风险：

总组合风险为

二、特殊行列式在数理金融中的应用

在数理金融中要应用一些特殊行列式和矩阵，如雅可比行列式、海赛行列式等。

（一）雅可比行列式

雅可比行列式既可以用来检验线性函数的相关性，也可以用来检验非线性函数的相关性。雅可比行列式是由方程组的所有一阶偏导数按一定顺序排列组成的，已知 y ₁ =f ₁ （ x ₁ , x ₂ , x ₃ ）, y ₂ = f ₂ （ x ₁ , x ₂ , x ₃ ）, y ₃ = f ₃ （ x ₁ , x ₂ , x ₃ ），则构造雅可比行列式为

雅可比行列式的第 i 行是由函数 y _i 关于每个独立变量 x ₁ , x ₂ , x ₃ 的偏导数组成的，第 j 列是由函数 y ₁ , y ₂ , y ₃ 关于第 j 个自变量 x _j 的偏导数组成的。如果，则方程为函数相关的；如果，则方程为函数无关的。

例2-12 已知，利用雅可比行列式判断其函数相关性。

解首先，求一阶偏导数：

然后，构造雅可比行列式，求值：，则方程之间是函数相关的。实际上：。

（二）海赛行列式

海赛行列式是由所有的二阶偏导数构成的，其中二阶直接偏导数位于主对角线上，交叉偏导数位于非对角线的位置，利用海赛行列式，可以方便地检验二阶条件。

已知 Z = f （ x, y ），二阶海赛行列式为，其中 Z _xy = Z _yx ，如果位于对角线上的第一个元素即第一主子式且第二主子式，则极小值的二阶条件成立。当时，海赛行列式被称为正定的，一个正定的海赛行列式完全能胜任极小值的二阶条件的角色。如果第一主子式且第二主子式，则极大值的二阶条件成立。当时，海赛行列式 H 被称为负定的，一个负定的海赛行列式完全能胜任极大值的二阶条件的角色。

例2-13 有一经济函数 Z =3 x ² - xy +2 y ² -4 x -7 y +12，证明在 x ₀ =1 , y ₀ =2处达到最优，二阶偏导数 Z _xx =6 , Z _yy =4 , Z _xy = -1，利用海赛行列式验证二阶条件满足最优。

证明

则海赛行列式为正定的，从而经济函数 Z 在临界值处取得最小值。

（三）最优化问题中的海赛行列式

已知 y = f （ x ₁ , x ₂ , x ₃ ），二阶海赛行列式为，其元素为 y 的各个二阶偏导数：，等等，极小值或极大值的条件则取决于第一、第二和第三主子式的符号。如果 0，则为正定，满足极小值的二阶条件。如果，则为负定的，满足极大值的二阶条件。更高阶的海赛行列式有类似的结论：如果的所有主子式为正，则为正定的，满足极小值的二阶条件，如果的所有主子式的符号在负与正之间交替出现，为负定的，满足极大值的二阶条件。