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函数和微积分是数理金融中最基础的数学工具，本节主要学习函数和微积分在利率分析、边际分析、银行按揭贷款等方面的应用。
（一）连续复利和实际利率
给定本金 P， 每年以 i 为利率计算复利一次， t 年后的终值 F 由指数函数确定。
如果每年计算复利 m 次， t 年后的终值为
如果利率 i 为100%，一年内连续计算复利，终值
对于非100%的利率 r， 及非一年的时期 t， 终值为
对于负增长率，如折旧或贬值，公式中的 i 或 r 为负数。
反之，如果要根据式（2 - 4）推导实际利率，可知实际利率 r 的计算公式为
例2-1 100元本金，以10%计算复利，求其两年后的终值。
解 每年计算一次复利，
每半年计算一次复利 ，m =2, t =2，
连续计算复利，
可见复利次数越多，终值越大。
（二）实际利率与名义利率
相同的本金及相同的名义利率，由于复利种类不同，会产生不同的实际利率。如例2-1所示，每年计算一次复利时，两年后终值为121元；每半年计算一次复利时，两年后终值为121.55元；而连续计算复利时，两年后终值为122.14元。
为了求出多次计算复利的实际年利率
i
e
，由
，两边同除以
P，
并开
t
次方根，得
为了求出连续计算复利的实际年利率，由1+ i e =e r ，得
例2-2 名义利率为10%，期限为2年，求：
（1）每半年计算一次复利的实际年利率；
（2）连续计算复利的实际年利率。
解 （1）
（2）
（三）银行按揭贷款
银行按揭贷款是以客户的信誉作担保，或以一定资产作抵押，先在银行贷款，然后再分期等额偿还。银行为了方便客户查询，一般制成一张按揭表，客户可以查表计算，选择按揭期限与方式，银行按揭可归结为数学问题：贷款 P 元，年利率为 r， 分 n 期等额偿还，每期应偿还多少？
一般以1个月为一期，月末偿还，年利率为
r，
月利率为
，设每期偿还
A
元，则
n
期还款折现为现值的总和应等于贷款总和，由现值公式
可知：
式（2 - 8）即为银行按揭的数学模型，又称资金还原公式。
称为资金还原系数，常用（
A/P, i, n
）表示，可通过查年金现值系数表计算求得。
例2-3 某人贷款金额为20万元，年利率为6%，计划办理5年银行按揭，每个月月末应向银行还款多少钱？
解 已知 P =200 000元， i =6% ÷ 12=0.5%, n =5 × 12=60（月）。
由银行按揭数学模型（2-8）可知，每月偿还数额
按5年银行按揭方式，每月月末应还款3 868元。
从以上例子中可以看出：（1）客户5年实际还款总数为3 868 × 60=232 080（元），贷款金额为200 000元，232 080 -200 000 =32 080（元），即5年累计支付利息32 080元。（2）按揭时间越长，每个月偿还数量越少，可减轻客户的偿还压力，但按揭时间越长，付出的利息越高。（3）上例中没有考虑年息的变化，即假定年利率是不变的。实际运作中，由于银行的利率随着经济情况经常变化，每月偿还资金数量会随着利率作一些调整。
（四）分期付款
在市场经济中，有些商品价格较高，消费者一次付款有困难，企业为了推销商品，采取分期付款的形式，有些商品在第一次付款时就可以取得，有些商品在货款付清后才能取得。有些银行也开办分期付款业务，由消费者分期还款给银行。
分期付款的形式有多种：（1）成交时取货，企业需计算现值；（2）货款付清后取货，消费者计算终值；（3）向银行借款购买商品，以后分期偿还银行借款；（4）分期付款在中途变更付款条件。
例2-4 某汽车每台售价100 000元，成交时付款34 000元，其余66 000元分11个月付款，即每月6 000元，假设月息为4.2‰，求企业获得的现值。
解
即每台汽车分期付款总额的现值为98 366.63元。
在金融分析中，经常需要计算时间最优问题、中间产品转移价格的测定问题等，这就需要运用微分方法进行分析。
（一）利用微分方法计算时间最优问题
例2-5 假设为投资买入的土地以下面的公式增值，其中 V 代表土地价值， t 代表持有时间。
在连续复利的前提下贴现率为0.09，为使土地的现值最大，应该持有该土地多久？
解 土地的现值 P 等于土地价值乘以贴现因子e -0 . 09 t ，即
二阶条件
所以当 t =7 . 13时 ，P 有极大值，即持有土地7.13年现值最大。
（二）划拨价格的决定机制
在国际投资中，划拨价格是从事跨国公司经营的企业系统内部（母公司与子公司之间、子公司与子公司之间）买卖中间产品时所执行的价格。它应以中间产品成本为基础，且同时满足母公司与子公司的利润最大化。
假定某跨国公司由三个部门组成：两个上游部门，一个下游部门。两个上游部门的产量分别为 Q 1 和 Q 2 ，成本相应为 C 1 （ Q 1 ）和 C 2 （ Q 2 ），下游部门的产量为 Q， 其生产函数为 Q = f （ K,L,Q 1 , Q 2 ），其中 K,L 是下游部门所投入的资本和劳动力。公司的总成本除了上游部门成本 C 1 （ Q 1 ）和 C 2 （ Q 2 ）外，还包括下游部门的成本 C d （ Q ）；两个上游部门生产的中间产品的划拨价格分别为 P 1 和 P 2 ，下游部门的销售收入为 R （ Q ）；当三个部门各自达到利润最大化时，公司的总利润最大。在此仅举出不存在中间产品外部市场时价格的确定。
设该企业的总利润为 π （ Q ），则
为使总公司利润达到最大，可对上式求偏导，令总利润对上游部门1产量的偏导等于零，即最后一单位上游部门1生产的中间产品的边际成本等于这一单位中间产品给跨国公司带来的额外收益。
令式（2-10）等于零，即
其中，
是增加一单位上游部门1的中间产品生产能够带来的最终产品的增量，定义为上游部门的边际产出，记作MP
1
。MR为最终产品生产的边际收益，MC
d
为下游部门的边际成本，（MR-MC
d
）为两者之差。定义（MR-MC
d
）MP
1
为上游部门1的年边际收益，记作NMR
1
。所以式（2-11）可改为MC
1
=NMR
1
=（MR-MC
d
）MP
1
。
同理，为了使母公司的利润达到最大化，可以解出上游部门2的相关数据：
其中，MP 2 是上游部门2的边际产出，NMR 2 是上游部门2的年边际收益。
令两个上游部门的利润分别为 π 1 和 π 2 ，则
为了使上游部门1的利润最大化，可对（2-12）式求偏导，并令利润
π
1
对中间产量
Q
1
的偏导数为零，即
，得MC
1
=
P
1
。
同理，为了使上游部门2的利润最大化，可以推出MC 2 = P 2 。
划拨价格制定的条件为
可见，当生产中间产品的边际成本等于其年边际收益时确定的价格是划拨价格。
例2-6 某生产赛车的跨国公司由两个部门组成，上游部门生产引擎，下游部门组装赛车。该赛车需求曲线为 P =20 000- Q， 则可推知收益为
所以边际收益为MR=20 000-2 Q。
已知上游部门的成本是
，则上游部门的边际成本为MC
E
=4
Q
E
，下游部门的成本为
C
A
=8 000
Q，
边际成本MC
A
=8 000，求引擎的划拨价格
P
E
、赛车的产量
Q、
引擎的产量
Q
E
和赛车的价格
P
A
。
解
令NMR E =MC E ，得12 000-2 Q E =4 Q E ，解出
微分是用来测量函数的变化率。求微分的逆过程及已知微分求原函数的过程叫做积分或反微分，原函数 F （ x ）就称为 F′ （ x ）的积分或原函数。
净投资
I
定义为时间
t
内的资本产量构成
K
的变化率，假如这个过程是连续的，
，根据投资率可以估计资本存量的水平，资本存量就是净投资关于时间的积分：
，这里
c
=初始的资本存量
K
0
。同理，利用积分可以根据边际成本（MC）来估算总成本（TC），因为边际成本就是产出增量而引起的总成本的变化，
，且只有可变成本随产出水平的变化而变化。
因为 C =固定或初始成本FC，数理经济分析致力于寻找变量的时间路径或者力求决定变量是否随着时间的推移收敛于平衡点。
例2-7
给定净投资率
，且当
t
=0时初始资本存量是150，求资本函数
K，
即时间路径
K（t）。
解
（一）运用微分方程决定动态平衡点
微分方程可用于决定市场均衡模型的动态平衡点，它描述出宏观经济的不同条件下价格增长的时间路径，也可以估计资本函数，并根据边际成本和边际收入函数估计总收益函数。
例2-8
给定需求函数
Q
d
=
c
+
bP
和供给函数
Q
s
=
g
+
hP，
均衡价格是
。假定市场中价格的变化率
是正的，它是关于超额需求
Q
d
-
Q
s
的线性函数。
分析在什么条件下，当 t →∞时 ，P（t） 将趋近于 P， 这个条件就是市场上的动态价格稳定条件 。
解 将给定 Q d 和 Q s 代入（2-14）式，有
令 v = m（h - b）,z = m（c - g）， 利用一阶线性微分方程通解的一般公式
当
t
=0时，
，
最后代入 v = m（h - b） 和 z = m（c - g），
价格的时间曲线为
因为 P（ 0 ）, P, m ≥0，当 t →∞时，式（2-15）等号右边的第一项将趋于0 , P（t） 将趋于 P， 当且仅当 h - b ≥0。对于正常的情况，需求函数是负的斜率 （b ＜0 ）， 而供给函数是正的斜率 （h ＞0），则可以确定其动态稳定条件。只要 h ≥ b， 拥有正斜率需求函数或负斜率供给函数的市场也将是动态稳定的。
（二）运用可分离变量微分方程求投资函数
投资的变化率将影响经济的总需求和生产能力，可以运用微分方程寻找经济增长的时间路径，并沿该路径增长。
例2-9 若边际储蓄倾向 （s） 和边际资本-产出比率 （k） 都是常数，计算可达到预期增长所需的投资函数。
解
总体需求
（Y）
的变化等于投资
（I）
的变化乘以边际储蓄倾向的倒数，即
。
生产能力 （Q） 的变化等于资本存量 （K） 的变化乘以边际资本-产出比率 （k） 的倒数，即
当生产能力充分利用时，
分离变量
积分可得
，即
在
t
=0时
，I（
0）=
C，
有
。
投资量必须以由
（即边际储蓄倾向与边际资本-产出比率之比）决定的常数比率增长。
（三）运用差分方程制定滞后收入决定模型
差分方程表示的是因变量和滞后的自变量之间的关系，这些变量在离散的时间区间内变化。假定消费量（ C t ）是前一期收入（ Y t- 1 ）的函数， c 为边际消费倾向，那么
如果 I t = I 0 ，那么 Y t = C 0 + cY t- 1 + I 0 。
设 b = c, a = C 0 + I 0 ，把这些值代入一阶线性差分方程 y t = by t- 1 + a， 求解一般公式
因为边际消费倾向
c
不等于1，并且当
t
=0时，假定
Y
t
=
Y
0
，那么这条时间路径的稳定性取决于
c，
因为
，时间路径将收敛。因为
c
＞0，所以非振荡，均衡是稳定的，并且当
t
→∞时，
，这是收入的暂时均衡水平。
例2-10 给出 Y t = C t + I t , C t =200+0.9 Y t- 1 , I 0 =100 , Y 0 =4 500，求解 Y t 。
解 Y t =200+0.9 Y t- 1 +100=0.9 Y t- 1 +300
利用公式
，得
由于0.9 ＜1，时间路径收敛；由于0.9 ＞0，则无振荡，因此 Y t 是动态稳定的。当 t →∞ 时，上式右边第一项趋于0，并且 Y t 接近于收入的均衡水平3 000。
检验：分别令 t =0 ,t =1，因此
用 Y 1 =4 350代替 Y t ，用 Y 0 =4 500代替 Y t- 1 ：
