命题01

在一给定的有限直线上作一个等边三角形。

On a given finite straight line to construct an equilateral triangle.

设AB是给定的有限直线。

于是，要求在直线AB上作一个等边三角形。

以A为圆心、AB为距离作圆BCD；

[公设3]

再以B为圆心、BA为距离作圆ACE；

[公设3]

从两圆的交点C到点A、点B连直线CA、CB。

[公设1]

现在，由于点A是圆CDB的圆心，所以AC等于AB。

[定义15]

又，由于点B是圆CAE的圆心，所以BC等于BA。

[定义15]

但已证明，CA也等于AB；

因此，直线CA、CB中的每一条都等于AB。

而等于同量的量也彼此相等；

[公理1]

因此，CA也等于CB。

因此，三条直线CA、AB、BC彼此相等。

因此，三角形ABC是等边的；且它是在给定的有限直线AB上作的。

这就是所要作的。（Q.E.F.） cFc/JntJp4uObcVF6tVPhW2CEGIbmFHIXk1EvtORHCQsfMDBdmi8r62QCSydTfuY