命题44

以给定的直线角，对一给定的直线贴合出一个平行四边形，使它等于给定的三角形。

To a given straight line to apply, in a given rectilineal angle, a parallelogram equal to a given triangle.

设AB是给定的直线，C是给定的三角形，D是给定的直线角；

于是，要求以一个等于角D的角，对给定的直线AB贴合出一个平行四边形，使它等于给定的三角形C。

以等于角D的角EBG，作平行四边形BEFG等于三角形C；

[I. 42]

使BE与AB成一直线；

延长FG到H，

并且过A作AH平行于BG或EF。

[I. 31]

连接HB。

于是，由于直线HF与平行线AH、EF相交；所以

角AHF、HFE之和等于两直角。

[I. 29]

因此，角BHG、GFE之和小于两直角；

但两条直线无定限延长后在两个内角之和小于两直角的一侧相交；

[公设5]

因此，HB、FE延长后会相交。

设它们延长后交于K；

过点K作KL平行于EA或FH，

[I. 31]

并把HA、GB延长到点L、M。

于是，HLKF是平行四边形，

HK是它的对角线，

AG、ME是平行四边形，

LB、BF是跨在HK两边的补形；

因此，LB等于BF。

[I. 43]

但BF等于三角形C；

因此，LB也等于三角形C。

[公理1]

又，由于角GBE等于角ABM，

[I. 15]

而角GBE等于角D，所以

角ABM也等于角D。

这样便以等于角D的角ABM，对给定的直线AB贴合出了平行四边形LB，它等于给定的三角形C。

这就是所要作的。 Vd67pSTsiOFz0mCG5Emk5cbs3yuFRer/ZX9zpIdDG4zSmXMEg6taXw3jW5TfAx3n