命题40

等底且在同侧的相等三角形也在相同的平行线之间。

Equal triangles which are on equal bases and on the same side are also in the same parallels.

设ABC、CDE是等底BC、CE且在底的同侧的相等三角形。

我说，这两个三角形在相同的平行线之间。

这是因为，连接AD；

我说，AD平行于BE。

因为若非如此，过A作AF平行于BE，

[I. 31]

连接FE。

因此，三角形ABC等于三角形FCE；

这是因为，它们等底BC、CE且在相同的平行线BE、AF之间。

[I. 38]

但三角形ABC等于三角形DCE；

因此，三角形DCE也等于三角形FCE，

[公理1]

大的等于小的：这是不可能的。

因此，AF不平行于BE。

类似地，可以证明，除AD外，其他任何直线都不平行于BE。

因此，AD平行于BE。

这就是所要证明的。> xnIXTat30bnjZ7NcAyGBQb1xMEAQU5o3omBeT0UNlyVfmsY3txUMwSSNxRUpnisw