命题39

同底且在同侧的相等三角形也在相同的平行线之间。

Equal triangles which are on the same base and on the same side are also in the same parallels.

设ABC、DBC是同底BC且在其同侧的相等三角形。

<我说，它们也在相同的平行线之间。>

又，<因为>连接AD；

我说，AD平行于BC。

因为否则的话，过点A作AE平行于直线BC，

[I. 31]

连接EC。

因此，三角形ABC等于三角形EBC；

因为它们同底BC且在相同的平行线之间。

[I. 37]

但三角形ABC等于三角形DBC；

因此，三角形DBC也等于三角形EBC，

[公理1]

大的等于小的：这是不可能的。

因此，AE不平行于BC。

类似地，可以证明，除AD外，其他任何直线都不平行于BC；

因此，AD平行于BC。

这就是所要证明的。 SO17lfhcp9hiBmEULXKEfCvNnDeQEUT9V4/8dXBgM/A/Rn2RGA9NB7x7tfMQWQqd