命题35

同底且在相同的平行线之间的平行四边形彼此相等。

Parallelograms which are on the same base and in the same parallels are equal to one another.

设ABCD、EBCF是同底BC且在相同的平行线AF、BC之间的平行四边形。

我说，平行四边形ABCD等于平行四边形EBCF。

这是因为，由于ABCD是平行四边形，所以

AD等于BC。

[I. 34]

同理，也有

EF等于BC，

因此，AD也等于EF；

[公理1]

又，DE公用；

因此，整个AE等于整个DF。

[公理2]

但AB也等于DC；

[I. 34]

因此，两边EA、AB分别等于两边FD、DC，且角FDC等于角EAB，即同位角相等；

[I. 29]

因此，底EB等于底FC，

三角形EAB等于三角形FDC。

[I. 4]

从它们中分别减去三角形DGE；

因此，剩余的不规则四边形ABGD等于剩余的不规则四边形EGCF。

[公理3]

给它们分别加上三角形GBC；

因此，平行四边形ABCD等于平行四边形EBCF。

[公理2]
这就是所要证明的。 f3XwDU6LFlTeOsk7MABrJIjE87n1lM8EcGmzUHcuiOFzHjwGWMH+uNcJY6d0xBwJ