命题34

在平行四边形面中，对边相等、对角相等且对角线二等分其面。

In parallelogrammic areas the opposite sides and angles are equal to one another, and the diameter bisects the areas.

设ACDB是一个平行四边形面，BC是其对角线；

我说，这个平行四边形面ACDB的对边相等、对角相等且对角线BC将它二等分。

这是因为，由于AB平行于CD，且直线BC与它们相交，所以

错角ABC、BCD彼此相等。

[I. 29]

又，由于AC平行于BD，且BC与它们相交，所以

错角ACB、CBD彼此相等。

[I. 29]

因此，在ABC、DCB这两个三角形中，两个角ABC、BCA分别等于两个角DCB、CBD，且一条边等于对应的一条边，即等角所夹的二者公共的边BC。

因此，它们其余的边分别等于其余的边，其余的角也等于其余的角；

[I. 26]

因此，边AB等于CD，

AC等于BD，

以及角BAC等于角CDB。

又，由于角ABC等于角BCD，

且角CBD等于角ACB，所以

整个角ABD等于整个角ACD。

[公理2]

也已经证明，角BAC等于角CDB。

因此，在平行四边形面中，对边相等，对角相等。

其次我说，对角线也二等分其面。

这是因为，由于AB等于CD，且BC公用，所以

两边AB、BC分别等于两边DC、CB；

而角ABC等于角BCD；

因此，底AC等于底DB，

且三角形ABC等于三角形DCB。

[I. 4]

因此，对角线BC二等分平行四边形ACDB。

这就是所要证明的。 Zrd5eJPHqfiFL4InoDsoDtYvdYeshlRmvKMOwCASIAkZCua0YkDET+WSNUULpq0v