命题32

在任意三角形中，若延长一边，则外角等于两内对角之和，且三角形的三个内角之和等于两直角。

In any triangle, if one of the sides be produced, the exterior angle is equal to the two interior and opposite angles, and the three interior angles of the triangle are equal to two right angles.

设ABC是一个三角形，延长它的一边BC到D；

我说，外角ACD等于两个内对角CAB、ABC之和，且三角形的三个内角ABC、BCA、CAB之和等于两直角。

这是因为，过点C作CE平行于直线AB，

[I. 31]

于是，由于AB平行于CE，且AC与它们相交，所以

错角BAC、ACE彼此相等。

[I. 29]

又，由于AB平行于CE，且直线BD与它们相交，所以

外角ECD等于其同位角ABC。

[I. 29]

但已证明，角ACE也等于角BAC；

因此，整个角ACD等于两内对角BAC、ABC之和。

给它们分别加上角ACB；

因此，角ACD、ACB之和等于三个角ABC、BCA、CAB之和。

但角ACD、ACB之和等于两直角；

[I. 13]

因此，角ABC、BCA、CAB之和也等于两直角。

这就是所要证明的。 QZQxpcmn+cNbC/WmP8QKOaiYfXmxWgxVD2SHp1N3f1giPIposgtzRGUJkTBu6R3P