命题29

一直线与平行直线相交所成的错角相等，外角等于同位内对角，且同旁内角之和等于两直角。

A straight line falling on parallel straight lines makes the alternate angles equal to one another, the exterior angle equal to the interior and opposite angle, and the interior angles on the same side equal to two right angles.

设直线EF与平行直线AB、CD相交。

我说，错角AGH、GHD相等，同位角EGB、GHD相等，且同旁内角即BGH、GHD之和等于两直角。

这是因为，如果角AGH不等于角GHD，则其中一个较大。

设角AGH较大。

给它们分别加上角BGH；

因此，角AGH、BGH之和大于角BGH、GHD之和。

但角AGH、BGH之和等于两直角；

[I. 13]

因此，角BGH、GHD之和小于两直角。

但两条直线无定限延长后在两个内角之和小于两直角的一侧相交；

[公设5]

因此，AB、CD若无定限延长会相交；

但它们并不相交，因为根据假设它们是平行的。

因此，角AGH并非不等于角GHD，因此等于它。

又，角AGH等于角EGB；

[I. 15]

因此，角EGB也等于角GHD。

[公理1]

给它们分别加上角BGH；

因此，角EGB、BGH之和等于角BGH、GHD之和。

[公理2]

但角EGB、BGH之和等于两直角；

[I. 13]

因此，角BGH、GHD之和等于两直角。

这就是所要证明的。 58gl+tOYYVtut2vPrvLx54zSCL5b6U5HRFRkYKTiBOLNpbMJjr8AD1FvxHBiHetM