命题26

若一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，且前者的一边等于后者的一边，即这边要么是等角的夹边，要么是一个等角的对边，则它们其余的边也等于其余的边，其余的角也等于其余的角。

If two triangles have the two angles equal to two angles respectively, and one side equal to one side, namely, either the side adjoining the equal angles, or that subtending one of the equal angles, they will also have the remaining sides equal to the remaining sides and the remaining angle to the remaining angle.

设ABC、DEF是两个三角形，其中两角ABC、BCA分别等于两角DEF、EFD，即角ABC等于角DEF，角BCA等于角EFD；又设它们还有一边等于一边，先设是等角所夹的边，即BC等于EF；

我说，它们其余的边也分别等于其余的边，即AB等于DE，AC等于DF，其余的角也等于其余的角，即角BAC等于角EDF。

这是因为，如果AB不等于DE，那么其中一个较大。

设AB较大，取BG等于DE；连接GC。

于是，由于BG等于DE，BC等于EF，所以

两边GB、BC分别等于两边DE、EF；

而角GBC等于角DEF；

因此，底GC等于底DF，

三角形GBC等于三角形DEF，

其余的角等于其余的角，即等边所对的角相等；

[I. 4]

因此，角GCB等于角DFE。

但根据假设，角DFE等于角BCA；

因此，角BCG等于角BCA，

即小的等于大的：这是不可能的。

因此，AB并非不等于DE，

因此等于DE。

但BC也等于EF；

因此，两边AB、BC分别等于两边DE、EF，

而角ABC等于角DEF；

因此，底AC等于底DF，

且其余的角BAC等于其余的角EDF。

[I. 4]

又，设等角的对边相等，如AB等于DE；

我说，其余的边等于其余的边，即AC等于DF，BC等于EF，以及其余的角BAC等于其余的角EDF。

这是因为，如果BC不等于EF，那么其中一个较大。

如果可能，设BC较大，且设BH等于EF；连接AH。

于是，由于BH等于EF，且AB等于DE，所以

两边AB、BH分别等于两边DE、EF，

而它们所夹的角相等；

因此，底AH等于底DF，

三角形ABH等于三角形DEF，

其余的角等于其余的角，即等边所对的角相等；

[I. 4]

因此，角BHA等于角EFD。

但角EFD等于角BCA；

因此，在三角形AHC中，外角BHA等于内对角BCA：这是不可能的。

[I. 16]

因此，BC并非不等于EF，

因此等于它。

但AB也等于DE；

因此，两边AB、BC分别等于两边DE、EF，且它们所夹的角相等；

因此，底AC等于底DF，

三角形ABC等于三角形DEF，

且其余的角BAC等于其余的角EDF。

[I. 4]
这就是所要证明的。 NRfGSvbyHvOqza0WZnp54N+3GqsNSNfcB0qmgNH7BkadJT2A8e43kQoyQLJpgBZ5