命题21

若从三角形一边的两个端点作两条直线交于三角形内，则这样作出的两条直线之和小于三角形其余两边之和，但夹角更大。

If on one of the sides of a triangle, from its extremities, there be constructed two straight lines meeting within the triangle, the straight lines so constructed will be less than the remaining two sides of the triangle, but will contain a greater angle.

在三角形ABC的一边BC上，从其端点B、C作两条直线BD、DC交于三角形ABC内；

我说，BD、DC之和小于三角形其余两边BA、AC之和，但所夹的角BDC大于角BAC。

这是因为，延长BD到E，

于是，由于在任意三角形中，两边之和大于第三边，

[I. 20]

因此，在三角形ABE中，两边AB、AE之和大于BE。

给它们分别加上EC；

因此，BA、AC之和大于BE、EC之和。

又，由于在三角形CED中，两边CE、ED之和大于CD，

给它们分别加上DB；

因此，CE、EB之和大于CD、DB之和。

[I. 20]

但已证明，BA、AC之和大于BE、EC之和；

因此，BA、AC之和比BD、DC之和更大。

又，由于在任意三角形中，外角大于内对角，

[I. 16]

因此，在三角形CDE中，

外角BDC大于角CED。

此外，同理，在三角形ABE中也有，

外角CEB大于角BAC。

但已证明，角BDC大于角CEB；

因此，角BDC比角BAC更大。

这就是所要证明的。 6qjl+a6hyq2Jkk9OcAfBshsqULIkXN2uovn7inzXG2iizmh+rHccgIE1zL5+5t+i