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命题21

若从三角形一边的两个端点作两条直线交于三角形内,则这样作出的两条直线之和小于三角形其余两边之和,但夹角更大。

If on one of the sides of a triangle, from its extremities, there be constructed two straight lines meeting within the triangle, the straight lines so constructed will be less than the remaining two sides of the triangle, but will contain a greater angle.

在三角形ABC的一边BC上,从其端点B、C作两条直线BD、DC交于三角形ABC内;

我说,BD、DC之和小于三角形其余两边BA、AC之和,但所夹的角BDC大于角BAC。

这是因为,延长BD到E,

于是,由于在任意三角形中,两边之和大于第三边,

[I. 20]

因此,在三角形ABE中,两边AB、AE之和大于BE。

给它们分别加上EC;

因此,BA、AC之和大于BE、EC之和。

又,由于在三角形CED中,两边CE、ED之和大于CD,

给它们分别加上DB;

因此,CE、EB之和大于CD、DB之和。

[I. 20]

但已证明,BA、AC之和大于BE、EC之和;

因此,BA、AC之和比BD、DC之和更大。

又,由于在任意三角形中,外角大于内对角,

[I. 16]

因此,在三角形CDE中,

外角BDC大于角CED。

此外,同理,在三角形ABE中也有,

外角CEB大于角BAC。

但已证明,角BDC大于角CEB;

因此,角BDC比角BAC更大。

这就是所要证明的。 PwtbdyrNXY36Bmgly6KeEu/DloBiks7E2r8SiTTBPmO+ScLWYz78hxd6idsV7OBw



命题22

由分别等于三条给定直线的三条直线作一个三角形,则任意两条直线之和必定大于另一条直线。

Out of three straight lines, which are equal to three given straight lines, to construct a triangle: thus it is necessary that two of the straight lines taken together in any manner should be greater than the remaining one.

设三条给定直线是A、B、C,其中任意两条之和大于另一条,即

A、B之和大于C,

A、C之和大于B,

B、C之和大于A;

于是,要求由分别等于A、B、C的三条直线作一个三角形。

作一条直线DE,一端为D,但沿E的方向有无限长,

取DF等于A,FG等于B,GH等于C。

[I. 3]

以F为圆心、FD为距离作圆DKL;

又,以G为圆心、GH为距离作圆KLH;

连接KF、KG;

我说,三角形KFG就是由分别等于A、B、C的三条直线所作的三角形。

这是因为,由于点F是圆DKL的圆心,所以

FD等于FK。

但FD等于A;

因此,KF也等于A。

又,由于点G是圆LKH的圆心,所以

GH等于GK。

但GH等于C;

因此,KG也等于C。

而FG也等于B;因此,三条直线KF、FG、GK等于三条直线A、B、C。

这样便由分别等于三条给定直线A、B、C的三条直线KF、FG、GK作出了三角形KFG。

这就是所要作的。 Z2uDV0aeR5bdfgO4AVH62VuXEkPJPS6vL5ifuSfSVRIhAqZyqYUD47gQaau1THMt



命题23

在给定的直线上并且在其上一点作一个直线角等于给定的直线角。

On a given straight line and at a point on it to construct a rectilineal angle equal to a given rectilineal angle.

设AB是给定的直线,A为其上一点,角DCE为给定的直线角;

于是,要求在给定的直线AB上并且在其上的点A作一个直线角等于给定的直线角DCE。

在直线CD、CE上分别任取点D、E;

连接DE,

由分别等于三条直线CD、DE、CE的三条直线作三角形AFG,取CD等于AF,CE等于AG,DE等于FG。

[I. 22]

于是,由于两边DC、CE分别等于两边FA、AG,且底DE等于底FG,所以

角DCE等于角FAG。

[I. 8]

这样便在给定的直线AB上并且在其上的点A作出了直线角FAG等于给定的直线角DCE。

这就是所要作的。 Z2uDV0aeR5bdfgO4AVH62VuXEkPJPS6vL5ifuSfSVRIhAqZyqYUD47gQaau1THMt

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