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在任意三角形中，任意两边之和大于其余一边。
In any triangle two sides taken together in any manner are greater than the remaining one.
设ABC为一个三角形；
我说，在三角形ABC中，任意两边之和大于其余一边，即
BA、AC之和大于BC，
AB、BC之和大于AC，
BC、CA之和大于AB。
这是因为，延长BA到点D，使DA等于CA，连接DC，
于是，由于DA等于AC，所以
角ADC也等于角ACD；
[I. 5]
因此，角BCD大于角ADC。
[公理5]
又，由于三角形DCB的角BCD大于角BDC，且大角对大边，
[I. 19]
因此，DB大于BC。
但DA等于AC；
因此，BA、AC之和大于BC。
类似地，可以证明，AB、BC之和也大于CA，BC、CA之和也大于AB。
这就是所要证明的。