命题20

在任意三角形中，任意两边之和大于其余一边。

In any triangle two sides taken together in any manner are greater than the remaining one.

设ABC为一个三角形；

我说，在三角形ABC中，任意两边之和大于其余一边，即

BA、AC之和大于BC，

AB、BC之和大于AC，

BC、CA之和大于AB。

这是因为，延长BA到点D，使DA等于CA，连接DC，

于是，由于DA等于AC，所以

角ADC也等于角ACD；

[I. 5]

因此，角BCD大于角ADC。

[公理5]

又，由于三角形DCB的角BCD大于角BDC，且大角对大边，

[I. 19]

因此，DB大于BC。

但DA等于AC；

因此，BA、AC之和大于BC。

类似地，可以证明，AB、BC之和也大于CA，BC、CA之和也大于AB。

这就是所要证明的。 QyT2vM7qGiojjMx4BVCFOHMomrIA3ZA2bRQrDXDabO2ldcSqpS3qx5cZrg7pqZgC