命题16

在任意三角形中，若延长一边，则外角大于任一内对角。

In any triangle, if one of the sides be produced, the exterior angle is greater than either of the interior and opposite angles.

设ABC是一个三角形，延长它的一边BC到D；

我说，外角ACD大于内角CBA、BAC中的任何一个。

设AC被二等分于E，

[I. 10]

连接BE并沿直线延长到F；

使EF等于BE，

[I. 3]

连接FC，

[公设1]

延长AC到G。

[公设2]

于是，由于AE等于EC，BE等于EF，所以

两边AE、EB分别等于两边CE、EF；

且角AEB等于角FEC，因为它们是对顶角。

[I. 15]

因此，底AB等于底FC，三角形ABE等于三角形CFE，

且其余的角分别等于其余的角，即等边所对的角；

[I. 4]

因此，角BAE等于角ECF。

但角ECD大于角ECF；

[公理5]

因此，角ACD大于角BAE。

类似地也有，若BC被二等分，则可以证明，角BCG，即角ACD[I. 15]，大于角ABC。

这就是所要证明的。 vIqoKp6Ka6Hb9GlI1LupF1duPd1n2ajp+5g57Eml9KfEku4ErPdadjTBeXTOesKy