命题15

若两直线相交，则交成彼此相等的对顶角。

If two straight lines cut one another, they make the vertical angles equal to one another.

设直线AB、CD相交于点E；

我说，角AEC等于角DEB，且角CEB等于角AED。

这是因为，由于直线AE与直线CD相交，交成了角CEA、AED，所以

角CEA、AED之和等于两直角。

又，由于直线DE与直线AB相交，交成了角AED、DEB，所以

角AED、DEB之和等于两直角。

[I. 13]

但已证明，角CEA、AED之和等于两直角；

因此，角CEA、AED之和等于角AED、DEB之和。

[公设4和公理1]

从它们中分别减去角AED；

因此，其余的角CEA等于其余的角BED。

[公理3]

类似地，可以证明，角CEB也等于角DEA。

这就是所要证明的。

< 推论 （Porism）由此显然可得，若两条直线相交，则在交点处交成的各角之和等于四直角。> c4fLVUE7d36zEUEcrRkGEUQo1B0VMCTJac9rqV8R+7W5KqcEqOVDD3M5pHROvSQv