命题14

若过任意直线上一点的两条直线不在该直线的同侧，且与该直线所成邻角之和等于两直角，则这两条直线在同一直线上。

If with any straight line, and at a point on it, two straight lines not lying on the same side make the adjacent angles equal to two right angles, the two straight lines will be in a straight line with one another.

设过任意直线AB上的点B有两条不在AB同侧的直线BC、BD成邻角ABC、ABD，其和等于两直角；

我说，BD与CB在同一直线上，

这是因为，如果BD和BC不在同一直线上，设BE和CB在同一直线上。

于是，由于直线AB与直线CBE相交，所以

角ABC、ABE之和等于两直角。

[I. 13]

但角ABC、ABD之和也等于两直角；

因此，角CBA、ABE之和等于角CBA、ABD之和。

[公设4和公理1]

从它们中分别减去角CBA；

因此，其余的角ABE等于其余的角ABD，

[公理3]

小角等于大角：这是不可能的。

因此，BE和CB不在同一直线上。

类似地，可以证明，除BD外也没有任何其他直线和CB在同一直线上。

因此，CB和BD在同一直线上。

这就是所要证明的。 NGyqLsXNWGZl3H5pCwbeoG5pvZScaIh2N69vC1C4OxDBn4B/Cv8SRt8og8tSbdUh