命题13

一直线与另一直线交成的角，要么是两直角，要么其和等于两直角。

If a straight line set up on a straight line make angles, it will make either two right angles or angles equal to two right angles.

设任意直线AB与直线CD交成角CBA、ABD；

我说，角CBA、ABD要么是两直角，要么其和等于两直角。

现在，若角CBA等于角ABD，则它们是两直角。

[定义10]

但若不是，设BE是从点B作的与CD成直角的直线；

[I. 11]

因此，角CBE、EBD是两直角。

于是，由于角CBE等于两个角CBA、ABE之和，

给它们分别加上角EBD；

因此，角CBE、EBD之和等于三个角CBA、ABE、EBD之和。

[公理2]

又，由于角DBA等于两个角DBE、EBA之和，

给它们分别加上角ABC；

因此，角DBA、ABC之和等于三个角DBE、EBA、ABC之和。

[公理2]

但已证明，角CBE、EBD之和等于这三个角之和；

而等于同量的量也彼此相等；

[公理1]

因此，角CBE、EBD之和也等于角DBA、ABC之和。

但角CBE、EBD之和是两直角；

因此，角DBA、ABC之和也等于两直角。

这就是所要证明的。 Smw44TGD2eddzaCgIJ0k17Y9yT6lPwuhx4cPNhnHWQkyOyZdWdYIY92icTOCk6Gc