命题05

在等腰三角形中，两底角彼此相等；又，若继续延长两腰，则底以下的两角也彼此相等。

In isosceles triangles the angles at the base are equal to one another,and, if the equal straight lines be produced further, the angles under the base will be equal to one another.

设ABC是一个等腰三角形，边AB等于边AC；

延长AB、AC成直线BD、CE。

[公设2]

我说，角ABC等于角ACB，角CBD等于角BCE。

在BD上任取一点F；

在较大的AE上截取AG等于较小的AF；

[I. 3]

连接FC、GB。

[公设1]

于是，由于AF等于AG，AB等于AC，所以

两边FA、AC分别等于两边GA、AB；

且它们夹着公共角FAG。

因此，底FC等于底GB，

且三角形AFC等于三角形AGB，

其余的角分别等于其余的角，即相等的边所对的角，

也就是说，角ACF等于角ABG，

角AFC等于角AGB。

[I. 4]

又，由于整个AF等于整个AG，且它们中AB等于AC，所以

余量BF等于余量CG。

但已证明，FC等于GB；

因此，两边BF、FC分别等于两边CG、GB；

且角BFC等于角CGB，

而底BC公用；

因此，三角形BFC也等于三角形CGB，其余的角也分别等于其余的角，即等边所对的角；

因此，角FBC等于角GCB，

角BCF等于角CBG。

因此，由于已经证明整个角ABG等于角ACF，其中角CBG等于角BCF，所以

其余的角ABC等于其余的角ACB；

它们都在三角形ABC的底以上。

但这也就证明了角FBC等于角GCB；

它们都在底以下。

这就是所要证明的。 ER4ilIUgSa224WOTqawwfCbvUc8iepbY17YmBtWpY376ABuF9r+n2W8MTKSr2JeJ