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木偶动画《芝麻街》有一集介绍了集合论：厄尼坐在一个盘子前，盘子里装着属于伯特的5块饼干。厄尼负责看管饼干，因为饼干怪会来抢走并吃光它们，但厄尼对这些甜甜的饼干馋得不行。最后他拿起了其中一块，说：“我就啃一小口，伯特肯定不会发现。”
于是，贪心的念头变成了现实。厄尼先啃了一小口，又啃了一小口——这块饼干只剩一半了。然后，他又小心地把饼干再啃成一个圆形。糟糕，这块饼干比其他饼干小太多了。为了掩盖“罪证”，厄尼决定让这块饼干彻底消失——用嘴销毁证据。
过了一会儿，伯特来了，说道：“我现在想吃我的5块饼干了。”说着将饼干逐一清点。“1、2、3、4——厄尼，我这只剩4块了。”“你确定？”“是，确定。”厄尼陷入了麻烦，但他又有了个鬼点子：“等会儿，让我把这些饼干在盘子上移动一下。”他移动了饼干，改变了排序。“看，又是5块了。”他说道。
靠移动饼干来改变数量，当然会失败。数学家称之为“数量守恒”现象：无论饼干如何排列，数量都不会改变。令人惊讶的是，婴儿和幼儿早已知晓了这种现象。虽然孩子们带给我们吵闹的印象，很难让我们想到这一点，但我们也很清楚，厄尼移动饼干的把戏永远都不会成功。
婴幼儿也可以计算——这一惊人的发现距今不过短短30年。根据瑞士发展心理学家让·皮亚杰（Jean Piaget，1896—1980）的理论，儿童最早要到5岁才能形成对数量的感知。他曾以一个实验来证明，其中使用了共计6个瓶子和杯子，接近《芝麻街》里的饼干数量。
他先把玻璃杯和瓶子分别排成行。2行彼此平行，2个瓶子和2个杯子之间的距离相同。实验者问几个4岁儿童：是瓶子更多还是杯子更多？所有孩子都回答“一样多”。很明显，他们对这2行瓶子和杯子建立了“1∶1”的匹配关系。
实验者将这些玻璃杯移动，使它们之间的距离更远，玻璃杯这一行也因此变得更长了，另一行的瓶子则保持原状。当被问到现在杯子多还是瓶子更多时，许多孩子都回答“杯子多”。于是，皮亚杰得出结论：孩子在4岁时尚未形成数量感，没有“数量守恒”的概念，因为他们不能理解：无论怎么移动物体，其总数并不会改变。
当然，身为心理学家，皮亚杰不仅对数量理解力感兴趣，还对儿童的学习过程、语言和运动能力颇为精通。皮亚杰的研究促进了一场心理学的革命，因为这些研究都以实验为基础，部分实验对象还是他自己的孩子。但可惜的是，正如我们现在所知，他的部分实验是有缺陷的——结论也是错误的。在移动玻璃杯这个实验里，皮亚杰没有考虑到实验员和孩子间的对话可能会影响实验结果。因为这些4岁孩子会认为被移动过的玻璃杯的总数一定发生了改变——不然，为什么这个实验员会特意针对这种改变提问呢？
鉴于这些问题，让婴儿来参与实验似乎是不可行的。那我们究竟如何能知道婴儿脑袋里都想了什么？就连新手父母都经常无法正确理解子女的哭声，那么研究者又该如何了解这些小家伙感知到了什么，正在思考些什么？
1980年，心理学家普伦蒂斯·斯塔基（Prentice Starkey）找到了新的思路——如果婴儿不能说出他们看到、感受、思考的东西，那我们至少可以观察他们是否对某个东西感兴趣。斯塔基的想法是，习以为常的东西会让人觉得无聊，而出乎意料的东西会令人兴奋，那么这也应该适用于婴儿的行为。
他将72个16—30周大的婴儿带进了费城大学的实验室。宝宝们会在一块屏幕上看到一些点点。起初，屏幕总是只显示两个点，不过它们的排列顺序会发生变化。斯塔基测试了每个孩子盯着显示屏上的两个点有多长时间，答案是——平均2秒。
接着，他引入新的变化：当从一张图像变为另一张图像时，不仅点的排列发生了变化，还会有新增的第三个点。这显然引起了婴儿们的注意，多看了0.5秒。斯塔基据此总结，婴儿们注意到了从两个点到三个点的变化，所以，他们在会说“1、2、3”之前，就已经对数量有了基本的感知。
在我们发现这第一个惊喜之后不久，其他惊喜也接踵而至。1992年，心理学家凯伦·温（Karen Wynn）在《自然》期刊上发表了关于婴儿令人惊讶的计算能力的文章，在此之前，我们从不敢相信婴儿也会运算。这位女科学家将5个月大的孩子们放在木偶戏台前。在戏台的一侧，有两个玩偶相邻并藏在幕后。不久，温将幕布拉开到一边，让孩子们可以看见这两个玩偶。
在自然面前，数学就像福尔摩斯眼前的证物。这位虚构的侦探可以从烟头推断出吸烟者的年龄、职业和财务状况。
——伊恩·斯图尔特，英国数学家
研究人员一次次地重复这个实验。有时如他们预料的那样，幕布后面有时有两个玩偶，有时却只有一个。因为在部分实验里，温将其中一个玩偶拿走了。我们通过分析监控记录得知，在只有一个玩偶时，婴儿们比看到两个玩偶时盯着戏台的时间长了整整一秒。
很明显，婴儿们已经知道：一个玩偶加上一个玩偶等于两个玩偶。当他们发现在幕布后面只有一个玩偶时，就成了意外的结果，所以他们盯看的时间就延长了。进一步实验表明，婴儿还能发现减法错误。例如，当幕布后面有两个物体时，让婴儿们明显看到其中一个物体被拿走，他们会认为幕布后面必定还剩一个物体。
凯伦·温进一步反驳了皮亚杰在20世纪50年代所做的婴儿学习实验。皮亚杰将一个立方体藏在毯子下面，观察孩子们是否会伸手去抓它。结果是，婴儿没去抓毯子。皮亚杰因此得出结论：小于10个月的婴儿，认为他们周围的物体不是独立的物体。因此，对于婴儿而言，一个立方体被推进毯子下面，它就不存在了。
但是，凯伦·温的研究表明，即使物体隐藏在毯子下或遮盖物后面，婴儿也显然知道物体仍在那里。心理学家称这种心理为“物体恒存”效应。皮亚杰完全忽略了一个事实——那么小的婴儿根本无法充分调动胳膊和手去抓开毯子。
婴儿能掌握“1+1=2”，就已经让学界跌破眼镜了，但事实证明，婴儿的运算能力比这更复杂、更精确。1995年，心理学家托尼·西蒙（Tony Simon）在一项对5个月婴儿的研究里证明了这一点。他重复了温的玩偶实验，让这些玩偶藏在遮盖物后面消失不见，然后掀开遮盖物。但是，他的团队改变了一个细节：除了孩子们预期的两个玩偶之外，有时戏台上还会出现两个球。不过，婴儿们并不感到惊讶，毕竟两个球也是两件。但如果遮盖物后面只出现了一个球，孩子们仍会感到惊讶。
西蒙的实验，不仅证实了婴儿掌握了基本的算术技能，还说明了他们有惊人的抽象能力。两个球和两个玩偶的共同点：都是两个物体。
多亏了现代的大脑研究，我们才能知道，当婴儿发现运算错误时，他们是在使用与成年人相同的大脑区域。2006年，以色列心理学家安德烈娅·伯杰（Andrea Berge）重复了温的实验，但她另外还借用了脑电图（EEG）来测量脑电波。孩子们被戴上头罩，头罩上装了许多小型传感器，用以测量脑电波。
伯杰记录到了6—9个月大的测试对象的额叶活动明显增加，也就是与成年人在发现错误、表现失望和解决矛盾时活跃的脑部区域一致。
又是一个惊人的结论！在婴儿还不会说话时，他们脑中用于基本运算的组织就已经形成并开始活跃了。
早在1871年，英国经济学家威廉姆·斯坦利·杰文斯（William Stanley Jevons）就已经观察到，我们成年人可以轻松理解较小的数量。在著名的“豆子实验”中，他让测试对象们迅速地看一眼装有豆子的盒子，然后让他们说出盒子里豆子的数量。测试对象们在盒子里有1—4颗豆子时都能答对，当豆子大于或等于5颗时，就出了问题。显然，在不一一清点的情况下，仅凭直观来感知数量，我们人类最多只能感知到4。研究人员在动物中也观察到了类似的现象，具体将在下一章细说。
尽管如此，人类已经找到了一种方法来弥补我们在快速计算大于5的数量时的缺陷。古罗马人，还有中美洲的玛雅人，都为大于5的数字专门设计了新的符号。数字1、2、3、4在古罗马写作I、II、III、IIII，而玛雅人写作
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。让古罗马人一眼区分出II和III并不难，但怎么区分IIIII和IIII呢？所以，他们没有采用很难分辨的5条竖线，而是用了一个新符号“V”来表示5；而玛雅人将数字写作：
显然，人类在识别大于4的数字时所遇到的困难，促使了古代数字系统的产生。我们至今仍在使用着古罗马人和玛雅人的技巧，当计数时，我们会画4条相邻的竖线，不会再画第五条竖线，而是穿过4条竖线画一条横线。这样我们一眼就能看出这是5了。
那我们如何面对更大的数量和数字呢？小孩子们只会数“1、2、3、4……”但大多数成年人也没有比小孩好多少，还好成年人已经学会了估算。例如，站在站台上，我们可以肯定地说：“有四五十个人在等火车。”但是，只有当我们真的清点人数时，才会知道正好有48个人。
很多人理解不了世界上大多数的事情，因为这些人没有学过数学。
——阿基米德，古希腊数学家
心理学家已经仔细研究了人类如何估算较大数量，以及是哪些因素导致了估算结果跟实际结果出现较大偏差。例如，当面对一些均匀分布的点时，我们会倾向于高估数量；相反，不均匀分布的点会让我们低估数量。
另外，有意思的是，我们可以通过一个简单技巧来提高我们的估算准确性：在我们估计总数量后，只需要在过程中时不时地获知确切点数（人数）。假如结果错得离谱，我们下次就不会犯同样的错误了。我们的估算机制，必须时不时地重新校准——就像天平需要校准一样。
当我们比较两组数量时，会出现两个有意思的现象。请观察下图里左边和右边的点。
哪边的点更多？经过你的比较，下图里哪一边的点更多，是左边还是右边？
第一幅图相对容易些。左边明显比右边更多：左边有15个点，右边只有11个。第二幅图的情况更困难一些。很可能你会猜两边点数相同，但这肯定不对。在这幅图里，右边比左边多四个点。不过，当比例为50∶54时，我们几乎无法感知其中的差异。这就是心理学家所说的“范畴大小”效应。当我们比较数量时，数量越大，反应时间就越长。
为了识别第二幅图里左右两边的差异，点数的差距必须进一步加大，例如50∶65。科学家们称之为“距离大小”效应。两个数值相距越大，我们就越容易区分它们。
令人意外的是，除了点数，印刷体数字也会让我们产生这种效应。1967年，有两位心理学家罗伯特·莫耶尔（Robert Moyer）和托马斯·兰道尔（Thomas Landauer）对此进行了实验。他们向几个成年测试对象展示了一对大小不同的个位数，如3和5。测试对象必须马上判断两个数字中哪一个更大，并按下相应按钮。实验者不断重复地给测试对象看新数字对，并持续监测他们的反应时间。
你觉得实验结果如何？他们对所有数字对的反应时间都一样？至少我们原本的预期是这样，毕竟我们都知道9大于8，也大于2，因此，在9∶8和9∶2这两种情况下的反应时间肯定是相同的。
但事实如何呢？当两个数字相差较大时，测试对象需要约0.5秒做出决定。他们在面对9∶2这种组合时几乎不会犯错，但当他们在面对5∶6这种相邻数字对时，结果完全不同，他们不仅经常犯错，平均反应时间也比9∶2这种数字对的反应时间长了0.1秒。
法国科学家斯坦尼斯拉斯·狄昂（Stanislas Dehaene）试图在实验中通过有针对性的训练来消除这种距离效应。为了能更好地进行训练，他的测试与莫耶尔和兰道尔的测试类似，但更简单。计算机显示屏显示出4个数字1、4、6、9中的一个。测试对象是来自俄勒冈大学的一批学生，他们只需要按下按钮来决定被显示的数字是大于5还是小于5。
狄昂认为，这个过程非常简单：“你想不到比这更简单的了：当你看到‘1’或‘4’时，就按左边的按钮；看到‘6’或‘9’，就按右边的按钮。”测试对象们练习了很多天，总共完成了多达1 600轮测试。
但是最后，在看到与5相邻的数字4和6时，大学生们的反应时间始终比看到1和9时要长。虽然反应时间随着实验的进程都更短了，但将4∶6、1∶9进行比较时，反应时间的变化并不明显。
狄昂反复思考，到底该如何解释这个结果。最后他得出的结论是：当比较两个数字时，大脑显然没有使用已经存储的表格，比如说，在这张表格里写着：6＞5。在这种情况下，决策时间长短将不取决于数字间的差距。唯一合理的解释是：人脑里有一种数轴。狄昂猜想，在大脑的犁沟和褶皱的某处，一定有某种模拟的阿拉伯数字。
你可以把数轴想象成裁缝的一卷旧卷尺，要确定9是不是大于1，快速看一眼位置就够了，但遇到5和6就得更仔细，到底哪个数字在卷尺上更靠右——在某些情况下你也不能很快判断。
小幽默
一个数学家教育他的孩子们懂礼貌：“我告诉过你们n次了，我告诉过你们n+1次了……”
还有一个实验为数轴的存在提供了确凿的证据。这次，测试对象们会看到31—99之间的某些两位数，他们必须判断一个数字是大于65，还是小于65。结果证明：数字越接近65，被测试者的反应时间就越长。
同时，对判断起到关键作用的可能是十位上的数？这一假设并未得到证实。其实，当他们看到71和65时，会比面对69和65时更快地判断；当看到79和65时，反应时间还会更短。这确实证明，不是十位上的数字，而是与65的距离，才是影响判断时间的最关键因素。
我们脑海里的数轴还有一个有趣的特征：这个数轴的量表，不像人们所想的那样是呈线性的，而是呈对数的。也就是说，1—10的距离与10—100的距离没什么区别。
因为，在看到较大数值时，我们脑海中的量表整个被压缩了，所以，我们无法绝对感知数字之间的距离，而是只能相对感知。因此，我们会觉得1和2之间的距离大于11和12之间的距离，尽管两者间的距离都是1。
这个原则也有助于我们比较更大的数量。如果我们能感知到10只绵羊和13只绵羊之间的差别，那么扩大20倍的羊群，即200只绵羊和260只绵羊之间的差别，我们也能成功感知到。
德国生理学家恩斯特·海因里希·韦伯（Ernst Heinrich Weber，1795—1878）在170多年前发现了上文这种联系，即“韦伯定律”：“人类以对数的方式感知世界。”这不仅适用于点的集合或者绵羊群，也适用于人的感官，例如感受压力差或温差。
举例说明：假设你有两块重量不同的巧克力，一块重100克，另一块重103克。你有可能确实能感知到3克的差别。接着，你又得到了两个分别为1 000克和1 003克重的砝码。这时，你就感知不到什么差别了，你会觉得两个砝码一样重。现在，将1 003克的砝码换成一个1 030克的砝码。瞧，你就又能感知到差别了。
我们内心的对数性量表，也在一个简单的思想实验中有所显露。在1—2 000的数字空间中，随机数生成器分两次各择出10个数字。在1—2 000的区间中，这两行中的哪一行的数字分布得更均匀？
A：868、7、456、1 089、667、1 433、1 988、232、1 678、1 266
B：4、155、345、599、19、1 566、1 067、66、733、1 988
由于你觉得B行的数字似乎分布得更均匀，所以B行就是正确答案？在A行中，好像大数字太多了，但这种直观印象是错的。在A行中，数字间的差距约为200。我们将这些数字根据大小排序就能发现这一点：7、232、456、667、868、1 089、1 266、1 433、1 678、1 988。
在B行中，数字主要集中在1—100、1—1 000的区间里，只有三个大于1 000的数字。所以，明显A行分布得更均匀。
狄昂对此有一个精简的解释：我们更喜欢B行数列，是因为它更适合我们脑海中那个被压缩的数轴，即对数数轴。位于数轴前端的较小的数字，比起较大的数字更显眼。
另一个实验的结果，为根植于我们脑海的对数提供了鲜明的证据，它选取了分别来自美国和南美亚马孙雨林的儿童和成年人进行研究。南美洲原住民蒙杜鲁库人只知道基本数字系统，没有接受过任何现代数学教育。
研究人员在显示屏上为测试对象显示了数量在1—10之间的点。然后，测试对象必须通过控制器在一条量表线上调准，并标出相应点数的位置，这条线轴只有左边标有1，右边标有10，其余刻度并未标注。
美国的测试对象们干得怎么样？如预期一样，他们做到了：他们标出的5几乎正好在中间，而9非常靠近10，2在1的右边一点点。现在我们将前面通过控制器调准标注的距离绘制在一张图表里，就会得到一条近似直线。
那么蒙杜鲁库人呢？他们的操作很神奇。面对较小的数字，他们移动控制器标出的数字更靠右一些，1几乎到了2的位置，2则几乎到了4的位置。他们标出的小数字间的距离，大于直线量表上的小数字间的真实距离。而面对7、8、9这些较大数字则恰好相反，他们标出的间距缩小了很多。
因此，在上图中，蒙杜鲁库人标出的数字不是呈直线，而是呈对数曲线。科学家在早期对美国儿童进行的实验中也观察到了这种曲线。但是，只有当这些儿童没有在幼儿园和小学学过数学时才会发生。因此，对数性量表显然是与生俱来的，线性量表则是通过学习获得的。
就连完全没学过对数的人都会感到惊讶，原来他们早在上学前就知道对数了。后来在学校里，老师想教他们如何求对数，他们反而不会了。
本章中的许多例子足以说明：不管是婴儿、幼儿还是成年人，当人类在面对数字时，都具备惊人的天赋，但只有极少数人发现了这一点。这真是太可惜了！我们甚至还能利用这种天生的数量感来理解更多像对数一样复杂的现象。
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