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知道有多少敌人在对你虎视眈眈，这总是好事。这不仅适用于住在山洞里的原始人，也适用于动物，他们不知道自己能不能打得过灌木丛后面的敌人。
尽可能准确地掌握对手的数量，这对动物也很重要。谁若是低估了敌方数量，有时就会付出生命的代价。因为计数中的一个小小错误，可能会带来致命的后果。那么，动物是如何获知同类的数量的呢？
1994年，剑桥大学的动物学家在坦桑尼亚的塞伦盖蒂公园对狮子进行了一项有趣的研究。凯伦·麦库姆（Karen McComb）和她的同事们想知道母狮子的计数能力有多好。大自然中常常有多达20头的母狮子群居，狮群之间通常井水不犯河水，都有自己的领地。然而，狮群之间总是不期而遇，甚至会有激烈的战斗。多数时候数量较多的狮群会获胜。
吼声在狮子的交流中起着重要的作用。狮子会单独吼叫，也会成群吼叫，它们一头接一头地轮流发出狮吼，类似合唱团唱歌。麦库姆和她的同事们录下了1头狮子的吼声和由3头狮子组成的小群体的吼声。之后，研究人员们通过扬声器将录下的吼声播放给200米外的母狮群听。母狮们就会不断地听到陌生的狮子的吼声。
上帝只创造了整数，其他所有数都是人创造的。
——利奥波德·克罗内克，德国数学家
扬声器的小伎俩开始起作用了：这些大型猫科动物听得非常认真，然后根据自己狮群的大小来决定是否接近这些“入侵者”。如果扬声器发出1头狮子的吼声，那么由3头或更多母狮组成的狮群，每10次中有7次会进攻，也就是攻击概率为70%。
但如果咆哮声是由3头狮子发出来的，这些母狮子就明显更加谨慎了。它们自己的狮群要达到5头以上，才会冒着70%的风险发动攻击。塞伦盖蒂的扬声器实验表明：狮子会通过吼声来识别出有多少敌人。它们敢不敢攻击入侵者，取决于对手的狮群大不大。它们会比较双方参与战斗的狮子数量，只有当己方占优势时，才会发起进攻。
科研人员还在其他各种实验中观察到，动物可以很好地获知数量，并比较数量。其中一个很著名的实验是用老鼠进行杠杆测试：将老鼠放进装有两根杠杆的箱子中，只有当老鼠多次按压第一根杠杆再按压第二根杠杆时，它们才会得到奖励。
老鼠在实验开始时并不清楚这个机制。它们只是尝试，看按压杠杆会发生什么。随着时间的推移，它们领会到自己需要按压第一根杠杆的次数视实验条件而定。它们会分别按压4次、8次甚至12次，并且几乎不会犯错。
在类似实验中，其他脊椎动物，例如猿猴、海豚和鸽子也都已证明了它们的计数本领。蜜蜂甚至掌握了基本的集合。维尔茨堡的研究人员让蜜蜂在两块相邻的黑板上飞行。一块黑板上画了两个物体，另一块只画了一个物体。在画有两个物体的黑板后面隐藏着奖励：一小碗糖水。蜜蜂很快就知道了食物的位置，并且从此总是飞向正确的黑板。
接下来是实验最有趣的部分。研究人员改变了黑板的排列，以及上面所画的物体的数量、颜色和形状。这样蜜蜂会如何反应呢？它们仍然毫无失误。不管画了两个物体的黑板放在哪儿，无论画的东西是红苹果还是黄点点，蜜蜂总是能找到通往食物的路。
科学家们进一步丰富了实验。他们在两块黑板上分别画了两个和三个物体来训练蜜蜂，之后又分别画了三个和四个物体。蜜蜂们总是很快就能发现要飞往的地方。直到要区分四个和五个物体时，蜜蜂才失败了。“这是我们第一次证明：无脊椎动物也具备计数能力。”维尔茨堡养蜂组的于尔根·陶茨（Jürgen Tautz）说道。
蜜蜂实验，证明了动物的抽象能力可以如此优秀，这是一项令人印象深刻的科学成果。两个苹果和两个点，对它们来说是相同的，因为都是两个。就像我们在第一章看到的，婴儿也一样能抽象思考。一个玩偶和另外一个玩偶，“唰”的一下变成了两个球，而他们一点儿也不惊讶，跟蜜蜂一样，对于婴儿来说两个物体仍然是两个。
动物的抽象能力远远不止于此。它们不仅可以统计物体个数，还能比较数量，甚至还能对闪光和声音等刺激进行统计和比较。这个实验是由罗素·切尔西（Russell Church）和沃伦·梅克（Warren Meck）完成的。研究人员让老鼠听到2次声响时按两根杠杆中左边的那一根，听到4次声响时按下右边的杠杆。之后，这些啮齿动物就学会了，在有2次和4次闪光的时候，它们也必须按下相应按钮。
研究人员提出的问题如下：老鼠的大脑分别存储了声音和闪光出现的规律？或者说，它们将刺激的次数抽象化，并从中推导出了普遍规律？
为了找到答案，科学家用一个新的实验来测试老鼠：两次声响之后，接着又是两次闪光。老鼠们完美地完成了任务。它们毫不犹豫地按了正确的杠杆，就像在面对4次声响或4次闪光时一样。老鼠不仅可以将物体抽象化，还能将声音和闪光抽象化。
不过，动物王国中最伟大的数学天才，是人类最亲近的灵长类“亲戚”——黑猩猩。1981年，盖伊·伍德拉夫（Guy Woodruf）和戴维·普雷马克（David Premack）在《自然》上发表的一篇论文引起了轰动。这两位研究员报告说，黑猩猩不仅能知晓数量，甚至还能做分数计算。
在实验中，研究人员会向一头成年黑猩猩先展示一件物品，再展示两件，如果它能从后面两件物品中选出与前面所展示的一样的物品，它就会得到奖励。这个实验听起来比之前的实验更容易。在黑猩猩面前有一个装有有色液体的半满玻璃杯，它必须在半个苹果和3/4个苹果中进行选择，与相应的杯子匹配。您瞧好了，黑猩猩的抽象能力足以使其辨识出：半满的玻璃杯与半个苹果是匹配的。
最后，伍德拉夫和普雷马克想知道黑猩猩是否能进行分数加法计算。他们稍微改变了实验条件，没有向黑猩猩展示半满的玻璃杯作为原始刺激物，而是用一个苹果和半杯牛奶。接着，黑猩猩要从一个完整的圆和3/4个圆中做出选择。黑猩猩真的在头脑中将1/4和1/2合并成3/4了！因为它在已完成的测试中多次选择了3/4个圆。这就意味着灵长类动物掌握了基本的分数加法计算——这谁能想到呢！
除此之外，黑猩猩的实验也表明：灵长类计算数字的原则，与我们人类完全相同。1987年，有一对学者夫妇苏·鲁博（Sue Rumbaugh）和杜安·鲁博（Duane Rumbaugh）的实验，完全是靠“巧克力的诱惑”。他们在黑猩猩面前放了两个抽屉，每个抽屉里都放了几块巧克力。研究人员假设，这些动物会主动伸手抓向装有最多块巧克力的抽屉。一旦它们决定了一个抽屉，另一个抽屉就会被迅速撤回，它们就无法拿到被撤回的抽屉里的巧克力了。
研究人员想在实验中同时发现灵长类加法水平究竟如何，他们就在抽屉里将巧克力分为两小堆。例如，在一个抽屉中，将4块巧克力堆在一起，还有一块巧克力是单独放的；在另一个抽屉中分为两堆巧克力，各有3块。事实上，黑猩猩通常会选择放着最多巧克力的抽屉——太优秀了。
但是，黑猩猩也会犯错误，我们人也一样会犯这种错误。如果被比较的两个数字相距较远，例如2∶6，那么黑猩猩就几乎不会犯错，因为两个数字间差异较大，这对黑猩猩而言也很明显。然而，随着两个数字间的差距减小，错误率就会提高。你已经从上一章学到了，这就是“距离效应”。
研究人员也观察到了“范畴大小”效应。当两个数字仅仅相差为1时，正确率会随着巧克力数量的增加而降低，如下表所示。
两头黑猩猩选择的正确率
此外，两头黑猩猩“奥斯汀”和“谢尔曼”的计算技能远远高于人类幼儿。但是，在此还必须考虑到这两只灵长类动物不是普通黑猩猩。饲养员进行了长期训练，以确保它们掌握一种象征性语言。例如，一旦它们学会每一份大餐都相对的象征符号，就可以通过按按钮来表达自己的食物偏好。
经过相应的培训，黑猩猩甚至可以在运算时战胜成年人类。日本京都大学灵长类动物研究所的研究人员为此提供了惊人的证据，有一头名叫“艾”（Ai）的雌性黑猩猩在那里接受训练。这头在非洲出生的母猩猩于1977年一岁时就来到了日本。
多年以来，日本科学家松泽哲郎（Tetsuro Matsuzawa）和他的同事们都在教艾阅读数字和文字。这些科学家当时就已经用上了罕见的计算机键盘和触摸屏，不像现在，我们早就对这些设备习以为常了。艾在5岁时，就已经能通过点击跟物品颜色、数量和种类对应的符号按钮来描述自己所看到的物体。
追寻简单的事物，并且怀疑它。
——阿尔弗雷德·怀特海，英国数学家、哲学家
松泽哲郎教艾学习如何阅读0—9的阿拉伯数字。在视频中艾演示了它如何在一瞬间识别出屏幕显示出的点的总数，并点击触摸屏上正确的数字。整个过程如此之快，以至于观众无法一下检验结果。为了增加任务难度，需要点击的数字0—9总会以不同的方式排列出来。你最好自己去看看视频，在网上搜索“松泽哲郎”就能找到。
京都的研究人员还教会了15头黑猩猩如何按大小排列数字。当触摸屏以随机顺序显示0—9的数字时，猩猩们就开始点击0、1、2……仿佛真从0数到了9一般。当然，它们数的速度也快得令人称奇。
在另一个实验中，这些年轻的黑猩猩还证明了它们具备某种照相式记忆。在这个实验里，显示屏上随机排列地显示出1—9当中的几个数字，但只有很短的时间。之后，显示屏上的数字就被白色方块遮住了。黑猩猩要做的就是以正确的顺序来点击方块，从1、2、3开始，依此类推。
这些黑猩猩极其迅速地解答了这道9个白色方块的数字记忆题。研究人员还让几个大学生同样使用触摸屏参与实验，与黑猩猩的记忆能力进行比较。
就错误率而言，人与黑猩猩之间几乎没有任何差异，但在快速记忆方面，年轻的黑猩猩遥遥领先于人类大学生。为了获知短期记忆的极限，黑猩猩跟人类一样，在数字被白色方块遮盖之前，只有零点几秒来观看。
当有0.7秒的时间观看5个数字时，大学生和猩猩的命中率都达到了80%。当数字只显示0.2秒就消失时，黑猩猩“阿玉木”（艾的儿子）的命中率仍然是80%。而在这么短的显示时间里，大学生的命中率只有40%。你最好也去网上看看阿玉木的视频，它对数字的快速捕捉太令人震撼了。
松泽哲郎说：“许多人包括生物学家，都认为人类在认知能力的各个方面都优于黑猩猩。”但没人能想到，一头5岁的黑猩猩能比人类更好地解决数字记忆题。
在对黑猩猩进行了上面这些神奇的实验后，我们可能会以为，它们就是动物王国中最伟大的数学天才了。确实它们有可能是冠军。但是，我还想补充两只非常特殊的动物的故事，它们同样也取得了令人瞩目的成就。
首先是灰鹦鹉亚历克斯（Alex），它生于1976年，由美国人艾琳·佩珀伯格（Irene Pepperberg）教它说人话。每当佩珀伯格想喂亚历克斯吃东西时，她就问它：“你想要吗？”当鹦鹉不喜欢这个食物时就会说：“我要胡萝卜。”当亚历克斯口渴时，它就会说：“我想喝水。”
这只鹦鹉还学会了不同材料的名称，而且能分辨材料。佩珀伯格向鹦鹉展示1块木头和1个羊毛线团，并问它这是什么材料。佩珀伯格用简单语言跟亚历克斯交流——“什么材料？”鹦鹉会回答“羊毛（Wool）”或“纸（Paper）”。我同样建议你去看一下亚历克斯的视频，网上都能搜到。
众所周知，鹦鹉能完美地模仿声音和音调，但亚历克斯并不是简单重复它从教练那儿听到的东西。“它真的能明白这些问题的意思。”佩珀伯格说。此外，它的计算能力也让人印象深刻。
例如，佩珀伯格向亚历克斯伸出两把钥匙，问道：“有多少把？”亚历克斯很快回答：“两把。”它的计算能力还不止如此。佩珀伯格向它展示了一个托盘，托盘上有2个绿色、5个蓝色的立方体，还有几辆绿色和蓝色的玩具车。然后，她问道：“有多少个绿色方块？”虽然亚历克斯是第一次看到以这种组合放置的物品，但它依然给出了正确答案：“2。”
2006年，佩珀伯格发表了关于亚历克斯计算能力的研究成果。在实验中，亚历克斯面前有两个倒扣的不透明塑料杯，下面藏着坚果或糖。只有当实验者抬起其中一个杯子时，亚历克斯才能看到它下面有多少坚果。之后，实验者再抬起第二个杯子。亚历克斯每次有10—15秒来得知每个杯子下的物体数量。
接着，实验者试着与鹦鹉进行目光接触，并问道：“总共有多少坚果？”这时，鹦鹉已经看不见杯子下面的坚果了。如果亚历克斯没有回答，问题就会在5秒后重复一次。为了尽量减少对鹦鹉的干扰，实验由6个不同的实验者来进行。
我们必须学数学，因为它能让我们的思想井井有条。
——米哈伊尔·罗蒙诺索夫，俄罗斯博物学家
亚历克斯要算出的坚果总数从1到6不等。在总计48次单独实验中，鹦鹉一共犯了7次错误。它的大多数错误（即4次）都发生在坚果总数为5时。亚历克斯在计算3+2和5+0时各出了两次错。鹦鹉究竟是如何进行计算的，为什么它总是在和为5时出错，而不是和为6时出错？可能它的教练也没能搞清楚吧。不过，不可否认，鹦鹉亚历克斯能做简单的加法。
在这章结束前，我想介绍最后一只天赋惊人的动物，名叫埃尔维斯（Elvis），是一只威尔士柯基犬。埃尔维斯之所以能成为科学出版界的宠儿，得感谢它的主人蒂姆·彭宁斯（Tim Pennings）。彭宁斯住在美国的荷兰镇，就位于密歇根湖湖畔，他是镇上霍普学院的数学老师。
彭宁斯会定期和埃尔维斯一起出去溜达，在宽广的密歇根湖边惬意地散步，与此同时，他总是会带上狗狗最爱的玩具：一个网球。彭宁斯通常沿着水位线在沙滩上散步，把球斜着扔进水里（参见第42页的图表）。此时，这位数学老师发现，埃尔维斯从来没有直接游向它最喜欢的球，而是在沙滩上跑了几米之后才一个急转弯，跳进水里游完最后几米。
数学家的直觉，让彭宁斯开始思考为什么埃尔维斯没有走直线。很快，一切真相大白：狗狗会在沙滩上跑一段距离，因为它奔跑比游泳快得多，这样它就能花比直线游泳更少的时间去拿到球。
小狗埃尔维斯在密歇根湖边玩耍（彭宁斯 摄）
彭宁斯分析了这个问题，并指出：要找出最快的路径，你必须掌握微分学，因为求相同时间下最短的路径就等于求一个函数的最小值，而没有人可以立马说出这个最小值。
简单而言，在彭宁斯所做的35次试验里，埃尔维斯几乎每次都会选择非常接近最优解的路线。但是，这就等于埃尔维斯真能区分出或计算出函数曲线上升或下降的趋势吗？
这就有点儿让人难以置信了。不过，有可能确实是这样，埃尔维斯只是对如何以最快速度拿到心爱的网球有一种良好的直觉。它经常在沙滩上嬉戏，在水里游泳，它就在这当中获得了经验。但也许，这也是某种来自演化与遗传的数学直觉，可以帮它们更有效率地移动。
埃尔维斯站在A点，网球在水里漂向了B点。为了计算出埃尔维斯要用多少时间才能拿到球，我们必须知道它走过的路程、奔跑的速度和游泳的速度。它在沙滩上从起点A点跑到D点，这条路线的距离是z-y。然后，它从D点游到B点，根据勾股定理，这段距离的长度是
。我们把奔跑速度设为g，游泳速度设为s。根据时间=距离/速度，就得到了计算总时间的公式：
我们要求这个函数的最小值，就要求它的一阶导数：
函数的最小值为T
（y）= 0。最后，我们就得到了答案：
彭宁斯已经指出，埃尔维斯以6.4米/秒的速度奔跑，并以0.9米/秒的速度游泳。由此得出y = 0.14x。这就是说，狗狗在沙滩上跑了很长一段时间，突然转一个直角，最后游完剩下的路程。
动物具备基本的数学意识，这也使得埃尔维斯总能以最快时间找到球。同样，我们人类也要将天生的数量感归功于演化遗传。动物能做到的事，比如把物体抽象化，人类婴儿也能做到。但是，在某些挑战上，我们甚至还不如黑猩猩！我觉得特别有趣的一点是，当动物面对1—4的较小数字时，和我们一样老练，而数字一旦大于5就不行了。这恰好是我下一章要说的问题。
你有两个容器，一个容器可以装3杯水，另一个可以装5杯水。请问：如何用这两个容器量出4杯水？
已知下面三个孩子里有一个在说谎。到底是哪个在说谎？
马克斯说：本在说谎。
本说：汤姆在说谎。
汤姆说：我没有说谎。
一个盒子里有30个红色、30个蓝色和30个绿色的球，它们重量相同、触感相同。你要取出12个颜色相同的球。在取球时，你必须全程闭眼，取完球后才能再次睁眼。你至少需要从盒子里取出多少个球，才能确保拿到12个颜色相同的球？
已知等式：4 2 -3 2 =4+3=7。此等式也适用于数字11和10，即11 2 -10 2 =11+10。还有其他更多这样的数字组合吗？
妮娜和莉莉在玩一个骰子游戏：
每个玩家有两个普通骰子。两人轮流掷骰子，每个玩家在掷骰子时可以决定自己掷两个还是一个骰子，接着，把掷骰子得到的点数相加，谁首先达到总数30，谁就获胜。谁要是超过30，就必须从0开始。妮娜开始时总是扔两个骰子，现在她获得了25点。在下次掷骰子时，她应该再次用两个骰子还是一个骰子来掷出30点？