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计算：
+
+
+
+
+
+
+
+
.
思路分析
我们仔细观察每个分数有什么特殊的地方 .不难看出，分子都是1，而分母分别可以写成：1×2，2×3，3×4，4×5，5×6，6×7，7×8，8×9，9×10，也就是每个分母都可以分解为两个连续自然数的乘积，于是每个分数都可以拆成两个分数的差：
=
=1-
；
=
=
-
；
=
=
-
；……；
=
=
-
. 然后进行合并便可以得到结果 .
观察上述算式，不难发现，分母是两个连续的自然数，而分子是1，于是我们可以得到：形如
的分数（其中n为自然数）可以拆成
-
的形式，也就是
=
-
.
例1
计算：
+
+
+
+
.
思路分析
仔细观察不难发现，本题与准备性训练的区别在于：（1） 分母不再是两个连续自然数的乘积，两个自然数的差是2；（2）每个分数的分子都是2 .那它们之间有什么关系呢？
=
-
；
=
-
；
=
-
；
=
-
.
例2
计算：
+
+
+
+
.
思路分析 通过准备性训练和例1，可能你已经总结出了一些规律，分母中两个自然数相差几，分子是几，就可以转化成分母中两个自然数分别为分母的两个分数之差的形式 .可本题的分子是1，分母相差3，于是我们可以先给算式乘3，再除以3，便能够拆成两个分数的差了 .
例3
计算：
+
+
+
.
思路分析 本题有什么规律呢？仔细观察，不难发现6=1×2×3，24=2×3×4，60=3×4×5，然后再进行分解组合，便能够得到结果 .
=
=
（
-
）；
=
=
（
-
）；
=
=
（
-
） .
例4
计算：
+
+
+…+
.
思路分析 运用平方差公式a 2 -b 2 =（a+b）（a-b），如2 2 -1 2 =1×3，再进行裂项求解 .
例5
计算：
+
+
+
+
+
思路分析 用拆项的方法进行拆项：
=1-
，
=
-
，
=
-
，……
以此类推，
=
-
，然后用正负数相消的方法求出最后结果 .
或者根据公式裂项求解：
.
在计算这一类题目时，一定要认真观察分子与分母的特点，找到其中有共性的部分，然后再思考如何化简或消元，使计算简便 .同时也要注意总结经验，为以后解决问题打下基础 .
当n，d都是自然数时，有
=
（
-
）；
当n是自然数时，有
=
[
-
] .
计算：
（1）
+
+
+
+…+
；
（2）
+
+
+
+
+
；
（3）1+
+
+
+…+
.
1.
计算：
+
+
+…+
.（“希望杯”大赛试题）
2.
计算：
+
+
+
+…+
.（“创新杯”试题）