在我还很小的时候，曾在树林中遇见一位秃顶的看林老人，只见他在一棵大松树下摆弄着一个四方木板样子的仪器，我很好奇地问他在干什么，他回答说他正在用仪器测量松树的高度。我原本以为他要带着那个小巧的仪器爬上树梢去量树高，然而他丝毫没有上树的意思，反而把那台小仪器放回自己的口袋中，然后对大家说他已经测量完毕。

那时的我对此感到十分惊奇，要知道，对于当时年幼无知的我而言，测量树高的方法应该只有把树砍倒或者费力爬上树梢测量这样的笨办法，但是这位秃顶的看林人仅仅用一个小仪器就测量出大松树的高度，这简直是神奇无比的魔术！

上学以后，我学习到了一些几何学基本原理，才终于明白小时候百思不得其解的奇妙魔术不过是对最基本原理的简单运用罢了。

运用几何学基本原理来测量物体高度的方法数不胜数，其中最古老的测高法便是古希腊哲学家泰勒斯利用阴影对金字塔进行测高的方法。

公元前6世纪特殊的一刻，人在太阳光投射下的影子长度与人的身高相等。正是这一刻，在埃及最高的金字塔脚下，在疑惑的法老和祭司们面前，泰勒斯完成了对宏伟金字塔测高的任务。因为在那个时刻，金字塔投下的阴影长度正好与其高度相等，泰勒斯通过测量阴影的长度得到了金字塔的高度。

泰勒斯巧妙利用三角形的一个特性，借助阴影解决了测量金字塔高度的难题。而关于三角形的其他特性，大约在公元前300年，被另一位希腊数学家欧几里得发现，并撰写出一部著作，成为两千年来人们学习几何学必不可少的教材。一些今天我们每一个中学生都熟知的定理，其实都来自这部书，也正是有了泰勒斯、欧几里得这样无数前人的努力，才使得我们现在能站在巨人的肩膀上去看待和思考这些问题。

对于现在的中学生来说，泰勒斯当年使用的方法其实非常简单，它包含了三角形的以下两个特性（泰勒斯发现了其中的第一个特性）：

（1）等腰三角形的两个底角相等。反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对应的两边也相等。

（2）任意三角形的三个角的角度之和为180°。

依据这两个特性，泰勒斯推定出，当一个人的身影和他的身高等长时，太阳光应该正以45°角投射到平地上。因此，金字塔的塔尖顶点、塔底中心点和塔的阴影端点之间正好构成了一个等腰直角三角形。

这个方法在晴朗的日子里对独立的树木进行测量十分方便，但是有很大的局限性。一方面，如果在树木林立的树林里测量，树木的影子往往会与旁边树木的阴影重叠在一起，不便于测量。另一方面，在一些高纬度地区，太阳经常低垂于地平线上，很难等到合适的测量时机（此时人的影子长度与身高相等），只有等到夏季的正午时分，才可使用这个方法。

当然，只要将上面的方法略加改进，我们并不一定非得等到那个特殊时机才可测量。在测高时，先测量出所测物的阴影长度，然后测出自己的身影或者一根木杆的阴影长度。这样，根据它们之间的比例计算就可得到所测物的高度了（图1-1）：

AB ∶ ab = BC ∶ bc

这个式子之所以成立，正是利用了相似三角形 ABC 和 abc 的相似性原理，简单说来，就是树影长度是你身影长度的几倍，树高也就是你身高的几倍。

我们应该真正掌握这其中的几何学原理，而不是死记规则。因为在另外一种情况下，这个规则就不适用了。如图1-2所示，在路灯灯光投射出阴影的情况下，木柱 AB 比木桩 ab 大约高出2倍，然而木柱的阴影 BC 却要比木桩 bc 的阴影多出约7倍。这是因为太阳光线和路灯光线并不一样，路灯是点式光源，所以其光线是发散的，而太阳光线则是彼此平行的。

你也许会疑惑，太阳光线在放射出的瞬间就已交织在一起，又怎么判断出太阳光线是平行的呢？的确，从理论精确的角度讲，太阳光线的确存在角度，只是这个角度小得几乎可以忽略不计。举这样一个简单的几何学计算就能证明。假设从太阳某点放射出的两道光线，落在了地球表面相距1千米的两个地点有一把无限大的圆规我们可以把圆规的一只脚放在发射光线的那个点上，另一只脚以日地距离（即150000000千米）为半径画一个圆。通过计算，两道光线半径之间的圆弧长度达到1千米。而画出的这个巨大的圆的周长应为2π×150 000 000≈940 000 000千米。该圆周每一度的弧长都是圆周的 ，长度约为2 600000千米；一弧分是一度的 ，也就是43 000千米；而一弧秒则是一弧分的 ，也就是720千米。而我们假设的圆弧长只有1 千米，因此，与之对应的角只是 弧秒。再精确的天文仪器，也难以测量如此微小的角度。所以，在测量的实践中，我们完全可以把太阳光线看作是彼此平行的直线。

不过，在运用这个方法进行实际测量的时候，还存在一个问题。由于太阳并不是一个点状光源，而是由无数点及其放射出的光线所组成的巨大发光体。所以太阳光投射出的阴影尽头总有一道轮廓模糊、颜色暗淡的半影，我们总是很难确定其界限，所以无法做到完全精确地测量出阴影的长度。如图1-3所示，树影 BC 段后面就有一段半影 CD ,而半影 CD 与树顶 A 形成的角度与我们平时看太阳圆面时所夹的角度其实是相等的，叫作半度。因此即便在太阳所处位置并不低的时候，有时因这两个阴影测量的不精确所带来的误差也可能达到5%及以上，有时再加上地面不够平坦等不可避免的因素，使得误差更大。因此，在一些诸如山区的地方，阴影测高法不建议采用。