在一次小学数学课堂上，数学老师在黑板上用粉笔画了两个点，然后把粉笔递给一名学生说：“请在两点之间画出一条最短的路线。”

学生接过粉笔，小心翼翼地在两点之间画出了一条弯弯曲曲的线（图1-1)。

女老师惊讶又生气地说：“两点之间直线最短！是谁告诉你最短路线是曲线的？”

“老师，是我爸爸说的，他每天都要开公交车。”学生回答。

请你先别急着嘲笑那名小学生，因为如果你知道了图1-2里那条弯曲的虚线正是好望角和澳大利亚南端之间最短的路线的话，你恐怕就笑不出来了。实际上，还有你更意想不到的事情，比如，图1-3上从日本横滨到巴拿马运河的两条路线中，那条半圆形路线要比直线短得多！

如果你还是以为我在开玩笑，你就错了。上述都是地图测绘员承认且无法辩驳的真实情况。

那么，该如何解释这个问题呢？我们要先从地图，特别是航海图的基本知识谈起。首先你要知道，因为地球是个球体，所以从精确的角度来讲，它的任何一个部分都无法完全展开为一个没有任何重叠或者破裂的平面。即使我们想要在纸上画出部分大陆，也并非易事。在绘制地图时，人们也就不可避免地会进行一些歪曲，所以你也根本找不到一张没有歪曲的地图。

至于航海家所使用的航海图，是以16世纪荷兰地理学家墨卡托发明的方法制成的，这个方法又被叫作“墨卡托投影法”（图1-3和图1-6)。这种带格子的地图易懂之处在于：所有的经线用平行直线表示，而所有的纬线用垂直于经线的直线表示。

那么，同一纬度上两个海港间的最短航线应该如何找到呢？答案是，我们只要知道最短航线在哪个方向及位置就可以了。你也许会很自然地联想到，最短航线必定是在两个海港同处的那条纬线上了，既然地图上纬线是用直线表示的，两点之间直线最短的原理肯定错不了了。但我得告诉你，你又错了，处在纬线上的航线的确不是最短的航线。

其实球面上两点间的最短路线应该是经过它们的大圈弧线 。这是因为，经过同样两点的大圈弧线要比任何一个小圈弧线的曲率要小，且圆的半径越大，其曲率越小。而纬线都是小圈，因此最短的路线并不在纬线上。做一个实验就可以证明这一点。你可以用一条细线在地球仪上经过某两点，并把细线拉直，你就会发现细线肯定不是沿着纬线的（图1-4)。拉紧的线必然代表最短的航线，如果它不与地球仪上的纬线重合，则意味着在航海图上最短距离也必然不是用直线表示的。因为作为曲线的纬线在地图上反而是用直线表示的，反过来说，在地图上任何一条不与直线相重合的线，都应该是曲线。

由此可知，航海图上的最短航线是曲线，而并非直线了吧。

再举一个例子。传说在多年以前的俄国，人们对于如何修筑一条从圣彼得堡到莫斯科的十月铁路（当时叫尼古拉铁路）有很大的争议，最后俄皇尼古拉一世出面结束了争议：他决定从圣彼得堡到莫斯科之间应该用一条直线的铁路连接起来。假如当时他所用的地图是由墨卡托制图法制成的，恐怕他会对结果感到意外：这样铺设而成的铁路根本不是直线，而是曲线。

此外，我们还可以通过以下计算再次验证这个结论。假设有两个相距60°的港口与圣彼得堡都位于北纬60°上（实际是否存在这两个港口与我们的计算并无关系）。如图1-5所示, O 点为地心, A 、 B 分别为两港口，弧 AB 在纬线圈上，弧长为60°, C 点是纬线圈圆心。以地心 O 为圆心，经过 A 、 B 画一条大圈弧线，其半径 OB = OA = R ;大圈弧线与纬线圈弧线很接近，但并不重合。对每一条弧线长度的计算如下：由于点 A 和点 B 同处纬度60°，所以半径 OA 、 OB 与地轴 OC 的夹角都为30°。而在直角三角形 ACO

中30°夹角的对边 AC （与围圈半径 r 相等），应为直角三角形弦 AO 的一半。即 r = 。而纬线圈弧线 AB 长60°，即整个纬线圈长度（360°）的 。而纬线圈半径又是大圈半径的一半，因此纬线圈长度亦为大圈长度的一半。大圈全长40 000千米，所以纬线圈弧线君长等于 千米。

若是还要求出经过 A 、 B 的大圈弧线的长度（即两点间最短路线），则必须还要求得∠ AOB 的大小。小圈60°弧的对弦 AB 正是小圈内接正六角形的一边，所以 AB = r = 。作直线 OD 连接地球中心 O 和 AB 弦中中点 D ,三角形 ODA 是直角三角形，角 ADO 是90°，而 DA = AB , OA = R 。

可得

由三角函数表得

∠ AOD =14°28′5″

所以

∠ AOB =28°57′

计算出这些数据后，我们就很容易得出最短路线的长度了。对地球来说，大圈1′的长度等于1海里，即约1.85千米，又因,28°57′=1 737′，所以最短路线的长度为1 737×1.85≈3 213千米。

综上所述，在航海图上沿纬线圈上的直线航线为3 333千米，而大圈上的航线（地图上是曲线）为3 213千米，也就是说，前者比后者长了120千米。

如果你想检验图中所画的曲线是不是大圈弧线，方法也很简单，只需用一条线和一个地球仪就可以了。图1-2中非洲好望角到澳大利亚的直线航线为6 020海里，而曲线航线只有5 450海里，二者相差了570海里，即约1 055千米。在地图上你可以看到，从伦敦到上海画一条直线航空线，它必须穿过里海，但实际上最短的航空线只要经过圣彼得堡北面就行了。在航行时，如果不事先弄清航线问题，可能会浪费很多燃料和时间。

而节省时间和燃料在当代有多么重要，相信无须多言大家即可明白，因为我们已经不是处在那个原始的帆船航海时代，对时间意识不重视了。轮船的出现，意味着时间变成了金钱，航线变短，就意味着使用的燃料减少，所需要的费用自然也就少了。所以在当代，航海家往往不用墨卡托地图，而使用一种大圈弧线以直线表示的所谓“心射”投影地图，这是为了确保轮船始终在沿着最短的航线航行。

但是，为什么以前的航海家在航海时还使用墨卡托地图，并没有选择最短航线呢？是因为他们那时候还不知道上述所说的知识吗？当然不是。凡事都如双刃剑，这是因为墨卡托地图虽然有某些缺陷，但是在某些情况下对航海家有着很大的帮助。

首先，墨卡托地图中所表示的小陆地区域轮廓基本没有歪曲，除非在远离赤道的地方。在那里，地图上所表示的陆地轮廓要比实际的稍大，而且纬度越高，轮廓越大。不了解其中特性的人看到这种航海图，也许会产生误解。例如，在墨卡托地图上，格陵兰岛和非洲大陆看起来好像一样大，阿拉斯加甚至比澳大利亚看起来还要大，但事实上格陵兰岛不过非洲的 ，而阿拉斯加和格陵兰岛加在一起也只有澳大利亚的 。然而，对于早已熟悉其特点的航海家来说，这些都不是问题，且愿意包容。毕竟在小区域范围内，航海图上的陆地形状轮廓跟实际相差不大（图1-6)。

其次，墨卡托地图在实际的领航运用中比较方便，因为它是唯一以直线表示轮船定向航线的地图。“定向”航行是指轮船航行时固定在一个方向，“方向角”不变，这意味着轮船的航线与所有经线相交的角度都将相等。“定向”航行中的航线叫作斜航线，只有在以平行直线表示经线的地图上，航线才能通过直线的方式表示出来 。在地球上，所有纬线圈与经线圈相交的角都为直角，因此在墨卡托地图上纬线圈都是垂直于经线的直线。简单来说，看上去全是经纬线绘成的方格，这也是墨卡托地图的一大特色。

你现在终于明白为什么航海家喜欢使用墨卡托地图了吧，如果船长决定要到某个海港，他就会用尺子在出发地和目的地之间画一条直线，再量出它跟经线的夹角以确定航向。在浩瀚的大海上，轮船只要始终沿着这个方向航行，最后就可以准确地到达目的地。由此可见，“斜航线”虽不是最短、最经济的航线，但对船长和船员们来说，却是最方便的。例如，假如我们要从好望角出发去往澳大利亚最南端（图1-2），只要使轮船一直朝着南偏东87°50′的方向航行即可。但是如果想要走最短的大圈航线，则不得不一直改变航向。首先要往南偏东42°50′的方向，到达某个地方时又改为南偏东39°50′的方向（实际上，这条所谓的最短航线并不存在，因为它已经延伸到南极地区了）。

有意思的是，斜航线和大圈航线在某些地方可能重合，那是当沿赤道或者经线航行的时候，因为那时大圈航线在墨卡托方法绘制的航海图上也正好是用直线表示的。但除此以外的任何情况，这两种航线都不相同。 E41hV65dozzREwfxqmqFZSiwVGpeXo4xn8PCpE30rLPhhf7+fNOd0wbc4jCRMfVA