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1.知道建立函数关系式的步骤,在初中已经初步了解函数知识的基础上,再次感知函数的基本概念.
2.会对一些简单的实际问题建立两个变量间的函数关系式,并确定函数的定义域.
3.体验函数模型建立的一般过程,领会建立函数关系的基本方法.
4.运用陶行知教、学、做合一的思想,激发学生学习兴趣,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力和勇于探究的精神.
1.将简单的实际问题转化为数学问题,体现数学建模的过程.
2.建立函数关系式,确定函数的定义域.
启发引导,合作交流.
多媒体辅助教学,幻灯片.
说明: 1.引例来自课本第二章《不等式》中的“探究与实践”之“课题一最大容积问题”.
有一块边长为1米的正方形硬纸板,在它的四个角各剪去一个小正方形后,再折成一只无盖的盒子,如图1-11所示.如果要使制成的盒子的容积最大,那么剪去的小正方形的边长应为多少米?
2.以此作为引例的目的不是求出容积的最大值是多少,而是引导学生从实际问题中建立函数关系式,让学生体会建立函数关系式的步骤方法.
图1-11
分析:① 制成的盒子是长方体,盒子的容积也就是长方体的体积,长方体的体积=长×宽×高,因此,我们想要知道长、宽、高.
②长、宽、高是变化的,但此时的长、宽、高具有一定的关系,会随着减去的小正方形边长的变化而改变,因此,我们想要寻找它们的关系.
③如果设剪去的小正方形的边长为 x 米,如图1-12所示,结合体积的求法和长、宽、高的关系,我们可以得到体积的表达式 V = x (1-2 x ) 2 .
④对于变量
x
,它有适合的范围0<x<1 对于这个范围中的每一个
x
,都有唯一确2,定的
V
值与之对应,因此
V
是
x
的函数,而我们刚才建立的表达式
就是函数关系式,
x
的取值范围
则是函数的定义域.
图1-12
3.通过对本题的逐层分析,再一次让学生体会到“什么是函数”;让学生体会建立函数模型的一般过程与思考方法.
建立函数关系式的基本步骤可以归纳为如下几点:
(1)阅读材料,理解题意→确定自变量.
(2)再次阅读,理顺关系→列出等量关系.
(3)精心计算,化简整理→建立函数关系式.
(4)仔细审题,严密思考→写出函数定义域.
4.在即学即用环节中,教师要时刻关注学生的反馈,以便及时给出指导.
例 一个边长为 a , b ( b < a )的长方形被平行于边的两条直线所分割,其中长方形的左上角是一个边长为 x 的正方形,如图1-13所示,试用解析式将图中阴影部分的面积 S 表示成 x 的函数.
图1-13
学生: S = x 2 +( a - x )( b - x ).
教师: x 的范围有限制吗?
学生:
0<
x
≤
.
设计意图:本题是课本中的例1,题目中变量关系明显,学生比较容易得到函数关系式,教师应在观察学生的思维过程,注意可能产生的问题,例如自变量的选择、定义域的求得等.
5.变式思考的目的在于加深学生们对函数关系式的透彻理解.
变式1 在上例中,如果长方形的左上角是一个面积为 S 的正方形,右下角是一个周长为 L 的矩形,试将 L 表示为 S 的函数.
教师: 什么是“将 L 表示为 S 的函数”?
(此时,学生出现概念模糊,不确定答案)
教师: 请大家打开课本,再仔细体会一下函数的定义.
(给学生时间让学生深入理解函数的定义)
学生: “将 L 表示成 S 的函数”就是 L = f ( S ).
设计意图:要懂得什么是“将 L 表示成 S 的函数”.
变式2 如图1-14所示,被平行于边的四条直线所分割,左上角和右下角是边长相同的正方形,那么在用解析式将图中阴影部分的面积 S 表示成 x 的函数时,请求出函数的定义域.
图1-14
学生: S =2 x 2 +( a -2 x )( b -2 x ).
(学生建立解析式后,对定义域还有些困惑)
教师: 确定实际问题的定义域,我们可以从实际出发,让每一个长度和角度都符合生活实际.
设计意图:要注意从实际问题中发现“自变量的取值范围”.
6.建议学生们独立完成练习1和练习2(其中练习1是书中例2),以达到复习巩固、融会贯通的目的.但也视具体情况可作出调整.
练习1:有一圆柱形的无盖杯子,它的内表面积是100平方厘米,试将杯子的容积 V (立方厘米)表示成底面内半径 v (厘米)的函数.
图1-15
学生在黑板上演示解题过程,检查学生的书写规范.
图1-16
练习2:用长为 l 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架.若矩形底边长为2 x ,求此框架围成的面积 y 关于 x 的函数解析式.
7.这两道思考题既是对本节课的深化探究,也是为“函数关系式的建立”第二课时作出铺垫.将视学生的学习情况,作为课上思考或课后思考.
思考题1:如图1-17所示,一份印刷品排版面积(矩形)为432平方厘米,它的左右两边都留有4厘米的空白,上、下底部都留有3厘米的空白,问:如何设计排版的长和宽,使用纸最省?
图1-17
设计意图:本节课出现的例题与练习,它们的变量关系都是既定的,如果所给的问题中没有直接给出自变量呢?我们要学会确定自变量.
思考题2:函数f( x )= x 2 -4 x + k 的图像与 x 轴交于 A 、 B 两点,与 y 轴交于点 C ,记△ ABC 的面积为 S ,求 S 关于 k 的函数关系式.
设计意图:本节课初步接触了一些实际问题,思考层面比较简单,我们用一个式子就能表示待求的函数关系式,如果所给的问题比较复杂呢?我们要学会分段确定函数关系式.
8.对于课堂小结,会视课堂实际情况而定,可能放在课中也可能放在课后,进行小结.
(1)复习本节课所学内容.
(2)课本P58,练习3.2(1).
函数是中学数学的最主要的内容之一,函数的表示方法有列表法、图像法和解析法.建立函数关系式是表示函数对应关系的一种常用方法,它是独立地、完整地表达函数关系的一种形式,是函数教学中十分关键的环节.
在初中阶段,函数关系式的建立主要要求学生通过解决现实生活中简单实际问题,体会一次、二次函数和正、反比例函数的基本应用和函数的模型思想.高中阶段则通过对函数关系的建立分析变量和建立函数关系的思考方法,构建模型的思想,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
本节课,选择高一数学第二章《不等式》拓展内容课题一“最大容积问题”作为引入,让%学生体会KM建立函数模型的步骤与方法,并且可以再一次深化函数的基本概念,当然,以此题引入,也是为接下来即将学习的函数性质埋下伏笔,让学生们知道建立函数关系式的目的是解决实际问题.
高中阶段函数的学习,是在初中学习函数的基础上,进一步理解函数是变量之间的依赖关系的反映.因此,将本节课的教学目标设置为:知道建立函数关系式的步骤,在初中阶段已经初步了解函数知识的基础上,再次感知函数的基本概念;会对一些简单的实际问题建立两个变量间的函数关系式,并确定函数的定义域;体验函数模型建立的一般过程,领会分析变量和建立函数关系的思考方法;运用陶行知教、学、做合一的思想,激发学生学习兴趣,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力和勇于探究的精神.
通过对引例的详细分析,和学生们共同总结求函数关系式的基本步骤与方法:阅读材料,理解题意→确定自变量;再次阅读,理顺关系→列出等量关系;精心计算,化简整理→建立函数关系式;仔细审题,严密思考→写出函数定义域.在学生们体会到函数关系建立的基本方法之后,再开始对课本中的两道例题进行学习,这样用理论指导实践,可以使知识更加融会贯通.
对于教科书中的例题,例1(课本第57页)是比较简单的函数关系的建立,通过对这道题的分析,要让学生明白:①建立函数关系时,应分清自变量和应变量,真正弄懂“函数”;②要会求函数的定义域,特别是在实际问题中,定义域更应该符合“实际问题的背景”.基于以上两点,我给出了两个变式,旨在加深学生的印象,更深入地体会如何建立函数关系式.
在对例1充分讲解的基础上,例2(课本第57页),相较于例1,难度有所提高,但是考虑之前的分析比较详细,所以把例2设置为练习题,并且补充了一道类似的题目,以期通过学生的思维过程建构,体现学生认知水平的提高,并可以以此作为学生听课成果的评价.
考虑“函数关系的建立”有2个课时,第一课时是比较简单的关系式的建立,第二课时则重在从实际问题中建立分段函数的关系.与第一课时相比,第二课时在阅读量和思维量上都高了许多,所以设置了两道深化探究问题,既是对本节课的巩固提高,也是对下节课的预习,为第二课时做好准备.
本节课是“函数关系的建立”的第一课时,旨在学习从实际问题中抽象出数学形态建立函数关系,从而培养学生的建模思想和实际问题数学化的能力.
本节课完成了既定的教学目标,顺利突破了教学难点.重视教科书,例题的选择来自课本,并在此基础上进一步挖掘、变式,从多角度体会函数关系式的建立方法和其中的注意问题.
课堂中师生互动频繁,教师让学生在黑板上演示解题过程,和学生一起学习规范的书写值得一提.但是,本节课的教学模式比较传统,多媒体的作用也仅限于“电子板书”,所以在以后的课堂中应多思考如何合理利用多媒体技术有效辅助课堂教学.
教学内容比较多,课前预设的教案没有完成,因此本教案比较适合提高班的教学,普通班还需要适当减少一些内容,可以将思考题放在课后.
研究一个实际问题时,首先要从问题中抽象出特定的函数关系.本节课中,教师在把实际问题转化为数学问题的过程中,引导学生建立恰当的函数模型,并且对函数模型进行分析.由于初中阶段学生们已经接触过数学应用问题,所以本节课,学生除了学习如何建立函数关系式之外,教师还对于函数的基本概念加以强调,特别是在求解定义域方面加重笔墨,而这些都是高中学习函数时应该注意的地方.
通过本节课的学习,学生们把数学知识应用于实际生活中,锻炼了发现数学问题、分析问题、解决问题的能力,达到了预先设计的效果.